Теория изгиба балок Тимошенко

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов смещение балки предполагается заданным в следующем виде: ${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)}$ где ${\displaystyle (x,y,z)}$ задают координаты точки на балке, ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ — компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, ${\displaystyle \varphi }$ — есть угол вращения нормали по отношению срединной поверхности балки и ${\displaystyle w}$ — смещение срединной поверхности в направлении оси ${\displaystyle z}$.

Исходными уравнениями является следующая пара связанных обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

В статическом пределе теория изгиба балки Тимошенко эквивалентна теории изгиба балок Эйлера-Бернулли в случае, когда последним слагаемым можно пренебречь. Это приближение справедливо когда: ${\displaystyle {\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$ где

• ${\displaystyle L}$ — длина балки.
• ${\displaystyle A}$ — площадь сечения балки.
• ${\displaystyle E}$ — модуль упругости.
• ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига.
• ${\displaystyle I}$ — второй момент площади сечения.
• ${\displaystyle \kappa }$ называется сдвиговым коэффициентом Тимошенко и зависит от формы сечения балки. Для балки прямоугольного сечения ${\displaystyle \kappa =5/6}$.
• ${\displaystyle q(x)}$ — распределение нагрузки (сила приложенная к единице длины).

Комбинируя эти два уравнения получаем в случае однородной балки постоянного сечения: ${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Изгибающий момент ${\displaystyle M_{xx}}$ и сдвиговая сила ${\displaystyle Q_{x}}$ в балке связаны со смещением ${\displaystyle w}$ и вращением ${\displaystyle \varphi }$. В случае линейной упругой балки Тимошенко эти связи имеют следующий вид:

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{и}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Вывод квазистатических уравнений изгиба балок по Тимошенко

Из кинематических предположений для балки Тимошенко смещение балки даётся: ${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ Далее, в случае малых деформаций в рамках предположений Тимошенко можно написать: ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ Поскольку реальные сдвиговые деформации балки непостоянны в пределах сечения, введём корректирующий фактор ${\displaystyle \kappa }$ такой, что: ${\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ Изменение внутренней энергии балки можно записать в виде: ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L}$ Зададим: ${\displaystyle M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A}$ Тогда: ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L}$ Интегрируя по частям и замечая, что граничные условия обращают изменение энергии на концах балки в нуль, пишем: ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L}$ Изменение внешней работы, совершенной над балкой поперечной нагрузкой ${\displaystyle q(x,t)}$ на единицу длины, равно: ${\displaystyle \delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L}$ Тогда для квазистатичной балки принцип виртуальной работы дает: ${\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0}$ Исходные уравнения для балки исходя из фундаментальной теоремы вариационного исчисления обретают вид: ${\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0}$ Для линейной упругой балки: ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$ Следовательно, основные уравнения для балки могут быть записаны в виде: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}}$ Комбинируя вместе два уравнения, получаем: ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$

Два уравнения, которые описывают деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены краевыми (граничными) условиями. Корректно поставленная задача требует задания четырех граничных условий. Обычно граничными условиями являются:

• Двухопорные балки: Смещение ${\displaystyle w}$ задается равным нулю в местах расположения двух опор. Также нужно задать изгибающий момент ${\displaystyle M_{xx}}$, приложенный к балке. Вращение ${\displaystyle \varphi }$ и поперечная сдвиговая сила ${\displaystyle Q_{x}}$ не заданы.
• Жёстко защемлённая балка (консоль): Смещение ${\displaystyle w}$ и вращение ${\displaystyle \varphi }$ задаются равными нулю в месте защемленного конца балки. Если один из концов балки свободен, то сдвиговая сила ${\displaystyle Q_{x}}$ и изгибающий момент ${\displaystyle M_{xx}}$ необходимо задать для этого конца.

Для жестко защемленной балки один конец защемлен, а другой остается свободным. Будем использовать правовинтовую систему координат, в которой направление оси ${\displaystyle x}$ считается положительным в направлении вправо, а направление оси ${\displaystyle z}$ положительно в направлении вверх. Следуя традиционным соглашениям мы предположим, что положительные значения сил направлены в положительном направлении осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle z}$, а положительные изгибающие моменты действуют по часовой стрелке. Также предположим следующее соглашение о знаках компонент механических напряжений (${\displaystyle M_{xx}}$ и ${\displaystyle Q_{x}}$): положительные изгибающие моменты сжимают материал балки внизу (меньшие значения координат ${\displaystyle z}$), положительные сдвиговые силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что защемленный конец балки имеет координату ${\displaystyle x=L}$,а свободный конец — ${\displaystyle x=0}$. Если точечная нагрузка ${\displaystyle P}$ приложена к свободному концу в положительном направлении оси ${\displaystyle z}$, то условие равновесия системы сходящихся сил балки дает нам

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

и

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

Следовательно, из выражений для изгибного момента и сдвиговой силы получаем

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{и}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

Интегрируя первое уравнение и применяя граничное условие ${\displaystyle \varphi =0}$ при ${\displaystyle x=L}$ приходим к

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Второе уравнение может быть переписано в виде

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Интегрируя и применяя граничное условие ${\displaystyle w=0}$ при ${\displaystyle x=L}$ пишем

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

Осевое напряжение дается тогда выражением

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

В теории изгиба балки Тимошенко без осевых эффектов отклонение балки предполагается заданным в виде

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где ${\displaystyle (x,y,z)}$ — координаты точки балки, ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ — компоненты вектора отклонения в трех координатных направлениях, ${\displaystyle \varphi }$ — угол вращения нормали по отношению к срединной поверхности балки и ${\displaystyle w}$ — отклонение срединной поверхности в направлении оси ${\displaystyle z}$.

Учитывая вышесказанное предположение теория изгиба балки Тимошенко (с допущением колебаний) может быть описано парой линейных уравнений в частных производных:^[3]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

где искомыми величинами являются ${\displaystyle w(x,t)}$ (отклонение балки) и ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ (угловое отклонение). Заметим, что в отличие от теории изгиба балок Эйлера-Бернулли угловое отклонение является отдельной переменной, а не приближается наклоном отклонения. Кроме того,

• ${\displaystyle \rho }$ — плотность материала балки (не линейная плотность).
• ${\displaystyle A}$ — площадь сечения балки.
• ${\displaystyle E}$ — модуль упругости.
• ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига.
• ${\displaystyle I}$ — второй момент площади сечения.
• ${\displaystyle \kappa }$ — называется коэффициентом сдвига Тимошенко, который зависит от формы балки. Для прямоугольного сечения балки ${\displaystyle \kappa =5/6}$.
• ${\displaystyle q(x,t)}$ — распределенная нагрузка (сила приложенная к единице длины).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$

Эти параметры не обязательно постоянные.

Дли линейной упругой изотропной однородной балки постоянного сечения эти два уравнения можно скомбинировть в следующее уравнение^[4][5]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Вывод комбинированного уравнения изгиба балки Тимошенко

Уравнения, которым подчиняется изгиб однородной балки постоянного сечения по Тимошенко, имеют вид ${\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}}$ Из уравнения (1) (предполагая достаточную гладкость) получаем ${\displaystyle {\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {q}{\kappa AG}}\\(4)&&\quad {\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}&=m~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}-\kappa AG~\left({\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}-{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}\right)\end{aligned}}}$ Из уравнения (3) (опять же при достаточной гладкости) можно написать ${\displaystyle (5)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$ Дифференцируя уравнение (2) получаем ${\displaystyle (6)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)}$ Из уравнений (4) и (6) пишем ${\displaystyle (7)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)}$ Из уравнений (3) и (7) получаем ${\displaystyle (8)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {m}{J}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {q}{J}}}$ Подставляя уравнение (5) в уравнение (8) получаем ${\displaystyle (9)\qquad {\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+J~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}=-{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q}$ Преобразуя это уравнение получаем ${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\quad \square }$

Уравнение Тимошенко предсказывает наличие критической частоты ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$ Для нормальных мод уравнение Тимошенко может быть решено. Поскольку это уравнение четвертого порядка, то у него существует четыре независимых решения, два осцилляторных и два быстро затухающих при частоте ниже ${\displaystyle f_{c}}$. Для частот выше ${\displaystyle f_{c}}$ все решения осцилляторны и, как следствие этого, возникает второй спектр.^[6]

Если отклонение балки задается в виде

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где ${\displaystyle u_{0}}$ есть дополнительное отклонение в направлении оси ${\displaystyle x}$, тогда основное уравнение изгиба балки по Тимошенко обретает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle J=\rho I}$ и ${\displaystyle N(x,t)}$ приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается напряжением деформации

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

где ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ — осевое напряжение. Толщина балки здесь считается равной ${\displaystyle 2h}$.

Комбинированное уравнение изгиба балки с учетом осевой силы имеет вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Если, помимо учета осевых сил, мы предположим также наличие демпфирующей силы, которая пропорциональна скорости в виде

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

то связанные основные уравнения изгиба балки Тимошенко становятся равными

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t),}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right),}$ а комбинированное уравнение приобретает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Подобный анзац для демпфирующей силы (похожий на силу вязкости) несколько нереалистичен поскольку вязкость приводит к независящей от частоты амплитудно-зависимой скорости затухания колебаний балки, тогда как эмпирические измерения показывают, что затухание слабо зависит от частоты и сильно зависит от амплитуды отклонения балки.

Определить коэффициента сдвига не так-то просто, к тому же неоднозначно (существует несколько способов его определения). В целом он должен удовлетворять условию:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,}$ .

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона. Попытки получить точное выражение для него предпринимались многими учёными, включая Степана Прокофьевича Тимошенко,^[7] Raymond D. Mindlin,^[8] G. R. Cowper,^[9] N. G. Stephen,^[10] J. R. Hutchinson^[11] и другими (см. также вывод уравнений изгиба балки Тимошенко с помощью теории изгиба балки основанной на вариационном-асимптотическом методе в книге Khanh C. Le^[12] который приводит к различным сдвиговым коэффициентам в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражений Тимошенко^[13] вполне достаточно в большинстве случаев. В 1975 году Kaneko^[14] опубликовал весьма хороший обзор по коэффициенту сдвига. Позднее новые экспериментальные данные показали, что коэффициент сдвига недооценивается.^[15][16]

Согласно работе Cowper 1966 года для цельного прямоугольного сечения балки

${\displaystyle \kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}}$

и для цельной балки круглого сечения

${\displaystyle \kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}}$.