Бесконечно малая и бесконечно большая

Бесконечно малая и бесконечно большая
Бесконечно малая и бесконечно большая
Область использования	математика

Бесконечно малая и бесконечно большая
Бесконечно малая и бесконечно большая
Область использования	математика

Бесконечно малая и бесконечно большая — понятия математического анализа, описывающие функции, предел которых при определённом стремлении аргумента равен нулю или бесконечности соответственно.

Бесконечно малая функция — функция, предел которой при стремлении аргумента к некоторой точке равен нулю. Это понятие лежит в основе определения предела: предел функции равен A тогда и только тогда, когда разность функции и A является бесконечно малой.

Бесконечно большая функция — функция, предел которой при стремлении аргумента к точке равен бесконечности. Её изучение сводится к изучению бесконечно малых: если f является бесконечно большой, то функция 1/f — бесконечно малая.

Эквивалентными называют бесконечно малые функции, предел отношения которых при стремлении аргумента к точке равен единице. Широко известны асимптотические равенства при x→0: sin x ~ x, tg x ~ x, ln(1+x) ~ x, ex−1 ~ x.

Запись f = o(g) при x→a означает, что предел отношения f/g равен 0. Это показывает, что f является бесконечно малой по сравнению с g. В частности, f = o(1) означает, что f — бесконечно малая функция.

Запись f = O(g) при x→a означает существование константы C и окрестности U точки a таких, что |f(x)| ≤ C|g(x)| для всех x из U. Это показывает, что f ограничена относительно g вблизи a.

Бесконе́чно ма́лая (фу́нкция) — функция переменного $x$ , которая при данном процессе изменения $x$ становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого заданного числа^[1].

Бесконе́чно больша́я (фу́нкция) — функция переменного $x$ , которая при данном процессе изменения $x$ становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа^[2].

Метод исчерпывания древнегреческих математиков позволял им проводить вычисления (например, площади параболического сектора у Архимеда и т. п.) с точностью до произвольно малого остатка. Методы греков являлись путеводной нитью для Стевина, Кеплера, Галилея… или фундаментом, на котором возводились новые теории (как неделимые Кавальери, Роберваля…), инфинитезимальные методы Ферма, Паскаля. Следующий этап — труды Ньютона и Лейбница.

Ньютон оперировал с «моментами», которые вполне эквивалентны бесконечно малым приращениям Ферма. Лейбниц исходил из рассмотрения «характеристического треугольника» Паскаля, треугольника, образованного «бесконечно малыми отрезками» касательной, абсциссы и ординаты, в своей первой публикации «Новый метод максимумов и минимумов…» (1684 г.). Он хотел построить «алгебру бесконечно малых», указав правила нахождения $d(x+y)$ , $d(xy)$ , $d(x/y)$ , $d(x^{n})$ . Позднее он добавил $d(\ln x)$ , $d(a^{x})$ , $d^{n}(y)$ .

Ньютон не открыл суть своего метода в письмах для Лейбница (1676). Только после публикации Лейбница он дал некоторые намётки своего метода в «Математических началах натуральной философии» (1687). Доступное изложение (сообщение Валлису) впервые опубликовано в «Opera» Валлиса (1693). В своих публикациях (1704 г. и далее) Ньютон старался избегать бесконечно малых. Его «последние отношения исчезающих приращений», говоря нестрого, это «наши» производные. Новое исчисление не имело прочной базы, пока не было ясности и строгости относительно основного понятия — бесконечно малой. Эйлер и Лагранж создали «версии», которые обосновывали скорее правила действий, чем дифференциальное исчисление. Определение бесконечно малой величины (на основе понятия предела) дал Больцано (1817) и вслед за ним Коши (1821—1823).

Уже у Ферма встречались бесконечно малые различных порядков (в нечётком виде); с ними широко оперируют Ньютон и Лейбниц. Карно впервые стал рассуждать не об «исчезающе малой величине», а о «переменной, предел которой равен нулю». Его воззрения были изложены в «Размышлениях о метафизике инфинитезимального исчисления» (1797).

Понятия «О-большое» и «о-малое» и обозначения $\zeta _{n}=O(z_{n})$ , $\zeta _{n}=o(z_{n})$ были введены Бахманом (1894) и Ландау (1909). Обозначения для сравнения бесконечно малых $a_{\nu }\sim b_{\nu }$ , $a_{\nu }\prec b_{\nu }$ ввёл Дюбуа Раймон (1870)^[3].

Исчисление бесконечно малых

Хотя «метод бесконечно малых» (в той или иной форме) с успехом применялся учёными Древней Греции и средневековой Европы для решения задач геометрии и естествознания, точные определения основных понятий теории бесконечно малых функций сложились только в XIX веке. При этом практический интерес представляют не бесконечно малая сама по себе, а те случаи, в которых рассмотрение бесконечно малой приводит к величинам конечным. В истории математики основное значение имели три типа такого рода задач.

Простейшие задачи древнегреческих математиков на метод исчерпывания, в которых бесконечно малые используются лишь для доказательства равенства двух заранее заданных величин (или двух отношений заранее заданных величин).
Более сложные задачи на метод исчерпывания, в которых искомая конечная величина получается в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа бесконечно малых величин. Эти задачи впоследствии привели к созданию интегрального исчисления.
Задачи, в которых конечная величина получается в виде предела отношения бесконечно малых величин. Они послужили материалом для создания дифференциального исчисления.

Современная концепция бесконечно малых как переменных величин, стремящихся к нулю, а производной как предела отношения бесконечно малых приращений была намечена И. Ньютоном, однако укрепилась только после О. Коши. Современное понимание дифференциала как главной части приращения по существу восходит к Ж. Лагранжу и было окончательно закреплено О. Коши, который дал и точное определение интеграла как предела суммы.

Для развитого дифференциального или интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто алгебраического характера. Благодаря этому современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логическую обоснованность с простотой и наглядностью^[4].

Бесконечно малая функция

Функция $f(x)$ , определённая в окрестности точки $x_{0}$ , называется бесконечно малой функцией при $x$ , стремящемся к $x_{0}$ , если для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое число $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ , что для всех $x$ , удовлетворяющих условию $\vert {}x-x_{0}\vert {}<\delta$ , выполняется $\vert {}f(x)\vert {}<\varepsilon$ . Что записывается как $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0$ .

Символ $\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0$ означает, что для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое $N=N(\varepsilon )>0$ , что для всех $x>N$ выполняется неравенство $\vert {}f(x)\vert {}<\varepsilon$ . Понятие бесконечно малой функции может быть положено в основу общего определения предела функции^[1].

Предел функции $f(x)$ при $x\to x_{0}$ конечен и равен $A$ тогда и только тогда, когда $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f(x)-A)=0$ , то есть функция $f(x)-A$ , является бесконечно малой.

Бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения (при стремлении $x$ к $x_{0}$ ) делается меньше произвольного числа ( $\varepsilon$ )^[5].

Бесконечно большая функция

Функция $f(x)$ , определённая в окрестности точки $x_{0}$ , называется бесконечно большой функцией при $x$ , стремящемся к $x_{0}$ , если для любого числа $M>0$ найдётся такое число $\delta =\delta (M)>0$ , что для всех $x\neq x_{0}$ и таких, что $\vert {}x-x_{0}\vert {}<\delta$ , выполняется неравенство $\vert {}f(x)\vert {}>M$ . Что записывается как $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\infty$ .

Аналогичным образом определяются

$\lim _{x\rightarrow x_{0}\pm 0}f(x)=\pm \infty ,$

$\lim _{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ .

Изучение бесконечно больших функций может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, так как если $f(x)$ есть бесконечно большая функция, то функция $\psi (x)=1/f(x)$ является бесконечно малой^[2].

Как и в случае бесконечно малых, бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа^[5].

Пусть $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ — бесконечно малые функции при $x$ , стремящемся к $x_{0}$ ^[6].

Определение 1

Если $\lim \limits _{x\to x_{0}}{\dfrac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=0$ , то $\alpha (x)$ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем $\beta (x)$ . Записывают $\alpha (x)=o(\beta (x))$ , $x\to x_{0}$ .

Символ $o(\beta (x)$ , $x\to x_{0}$ означает любую бесконечно малую функцию, имеющую в точке $x_{0}$ более высокий nорядок малости, чем бесконечно малая в этой точке функция $\beta (x)$ .

Определение 2

Если $\lim \limits _{x\to x_{0}}{\dfrac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=C\neq 0$ , то $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ называют бесконечно малыми функциями одного порядка.

Определение 3

Говорят, что бесконечно малые $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ функции при $x\to x_{0}$ не сравнимы, если отношение ${\dfrac {\alpha (x)}{\beta (x)}}$ при $x\to x_{0}$ не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Определение 4

Говорят, что бесконечно малая при $x\to 0$ функция $\alpha (x)$ имеет порядок малости $m\in \mathbb {N}$ относительно основной бесконечно малой при $x\to x_{0}$ функции $\omega (x)=x-x_{0}$ , если $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\alpha (x)}{(x-x_{0})^{m}}}=\beta \neq 0$ .

Эквивалентные бесконечно малые функции

Определение

Две бесконечно малые при $x\to x_{0}$ функции $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ называются эквивалентными, если предел их отношения в точке $x_{0}$ равен единице: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=1$ .

Эквивалентные бесконечно малые функции представляют частный случай бесконечно малых одного порядка. Эквивалентность бесконечно малых функций $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ обозначается так:

$\alpha (x)\sim \beta (x),\quad x\rightarrow x_{0}$ .

Про эквивалентные бесконечно малые функции $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ говорят также, что они равны асимптотически при $x\to x_{0}$ .

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств) при $x\to 0$ :

$\sin x\thicksim x;$
$\mathrm {tg} \,x\thicksim x;$
$\arcsin \,x\thicksim x;$
$\mathrm {arctg} \,\,x\thicksim x;$
$\ln(1+x)\thicksim x;$
$a^{x}-1\thicksim x\ln {a}$ ;
$e^{x}-1\thicksim x;$
$(1+x)^{p}-1\thicksim px$ .

Если для функции $f(x)$ можно подобрать числа $a$ и $m$ , $a\neq 0$ , $m\in \mathbb {N}$ , такие, что $f(x)\sim ax^{m}$ , $x\to 0$ , то говорят, что функция $ax^{m}$ есть главный степенной член функции $f(x)$ при $x\to 0$ .

Таким образом, правые части написанных выше асимптотических равенств есть главные степенные члены левых частей^[7].

Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными

Пусть $\alpha (x)$ , $\beta (x)$ , $\alpha _{1}(x)$ , $\beta _{1}(x)$ — бесконечно малые при $x\to x_{0}$ функции, причём, $\alpha (x)\sim \alpha _{1}(x)$ , $\beta (x)\sim \beta _{1}(x)$ . Если в точке $x_{0}$ отношение ${\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}$ имеет конечный или бесконечный предел, то он не изменится при замене $\alpha (x)$ на $\alpha _{1}(x)$ и $\beta (x)$ на $\beta _{1}(x)$ .

Теорема (условие эквивалентности)

Для того, чтобы две бесконечно малые при $x\to x_{0}$ функции $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность при $x\to x_{0}$ была бы бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем они сами.

Пусть функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ определены в некоторой окрестности $\Omega$ точки $x_{0}$ , кроме, быть может, самой точки $x_{0}$ , и пусть в некоторой окрестности $\Omega _{0}$ точки $x_{0}$ , $x\neq x_{0}$ , $\varphi (x)\neq 0$ (здесь точка $x_{0}$ может быть конечной и бесконечной).

Определение о-малого

Говорят, что $f(x)$ есть о-малое от $\varphi (x)$ и пишут $f(x)=o(\varphi (x)),\quad x\rightarrow x_{0}$ , если $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=0$ .

Соотношение $f(x)=o(\varphi (x))$ , $x\to x_{0}$ , означает таким образом, что функция $f(x)$ есть бесконечно малая по сравнению с $\varphi (x)$ при $x\to x_{0}$ . В частности, соотношение $f(x)=o(1)$ , $x\to x_{0}$ , означает, что $f(x)$ — бесконечно малая функция при $x\to x_{0}$ .

Определение О-большого

Говорят, что $f(x)$ есть О-большое от $\varphi (x)$ при $x\to x_{0}$ , $x\in \Omega$ , и пишут
$f(x)=O(\varphi (x)),\quad x\rightarrow x_{0}$ ,
если существует число $M>0$ и окрестность $\Omega _{0}$ точки $x_{0}$ такие, что $|f(x)|\leqslant M\cdot |\varphi (x)|\quad \forall x\in \Omega _{0},\quad x\neq x_{0}$ .

Соотношение $f(x)=O(1)$ , $x\to x_{0}$ , означает, что $f(x)$ ограничена в окрестности точки $x_{0}$ ^[8].

Асимптотические формулы

Для эквивалентных или асимптотически равных функций $f(x)$ и $\varphi (x)$ при $x\to x_{0}$ справедливы следующие формулы:

$o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))$ ;
$o(f(x))\cdot o(\varphi (x))=o(f(x)\cdot \varphi (x))$ ;
$o(o(f(x)))=o(f(x))$ ;
$o(f(x))+O(f(x))=O(f(x))$ ;
$o(f(x))\cdot O(\varphi (x))=o(f(x)\cdot \varphi (x))$ ;
$O(f(x))\cdot O(\varphi (x))=O(f(x)\cdot \varphi (x))$ ;
$O(o(f(x)))=o(f(x)),\quad o(O(f(x)))=o(f(x))$ .

Всю группу соотношений $f(x)\sim \varphi (x)$ , $f(x)=o(\varphi (x))$ , $f(x)=O(\varphi (x))$ , $x\to x_{0}$ , называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками^[9].

↑ ¹ ² Битюцков В. И. Бесконечно малая функция//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 1. — С. 435.
↑ ¹ ² Битюцков В. И. Бесконечно большая функция//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 1. — С. 435.
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений. — М., 2008. — С. 18.
↑ Каган В. Ф., Колмогоров А. Н. Бесконечно малых исчисление//Математический энциклопедический словарь. — М., 1988. — С. 89—91.
↑ ¹ ² Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 337—340. — 480 с.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 225.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 226—227.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 229.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 230.

Битюцков В. И. Бесконечно большая функция//Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 1. — С. 435. — 1156 с.
Битюцков В. И. Бесконечно малая функция//Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 1. — С. 435. — 1156 с.
Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — 248 с.
Каган В. Ф., Колмогоров А. Н. Бесконечно малых исчисление//Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 89—91. — 847 с.
Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — Т. 1. — 328 с.

[:1-1] ¹ ² Битюцков В. И. Бесконечно малая функция//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 1. — С. 435.

[:0-2] ¹ ² Битюцков В. И. Бесконечно большая функция//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 1. — С. 435.

[3] Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений. — М., 2008. — С. 18.

[4] Каган В. Ф., Колмогоров А. Н. Бесконечно малых исчисление//Математический энциклопедический словарь. — М., 1988. — С. 89—91.

[:2-5] ¹ ² Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 337—340. — 480 с.

[6] Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 225.

[7] Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 226—227.

[8] Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 229.

[9] Краснов М. Л., Киселёв А. И. Вся высшая математика: Учебник. — М., 2003. — Т. 1. — С. 230.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Исчисление бесконечно малых и бесконечно больших
История	Нотация Лейбница Знак интеграла Метод неделимых
Связанные направления	Нестандартный анализ
Формализмы	Дифференциал
Концепции	Стандартная часть числа Принцип перехода Гиперцелое Теорема приращения Монада Внутреннее множество Поле Леви-Чивиты Гиперконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микронепрерывность Трансцендентный закон гомогенности
Учёные	Архимед Лейбниц Робинсон Ферма Коши Эйлер
Литература	Анализ бесконечно малых Элементарные вычисления Курс анализа

Бесконечно малая и бесконечно большая

История

Исчисление бесконечно малых

Определения

Бесконечно малая функция

Бесконечно большая функция

Сравнение бесконечно малых функций

Определение 1

Определение 2

Определение 3

Определение 4

Эквивалентные бесконечно малые функции

Определение

Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными

Теорема (условие эквивалентности)

Символы о-малое и О-большое (символы Ландау)

Определение о-малого

Определение О-большого

Асимптотические формулы

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории