Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля. Ж. Лиувилль впервые ввёл (1832 г.) понятие дробное интегрирование и дифференцирование. Оператор ${\displaystyle I_{z}^{a}}$ при комплексных значениях параметра ${\displaystyle z}$ изучался Б. Риманом (1847 г.). Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса. Дифферинтеграл Римана-Лиувилля является одним из самых широко распространённых определённых производных и интегралов нецелых порядков.

Дробное интегрирование и дифференцирование — это распространение операций интегрирования и дифференцирования на случай дробных порядков. С введением производных и интегралов нецелых порядков стирается резкая граница между производными и интегралами. Можно трактовать интегралы, как производные отрицательного порядка, а производные, соответственно, как интегралы отрицательного порядка. В математическом анализе нецелых порядков существует термин: дифферинтеграл.

Формула ${\displaystyle n}$-кратного интеграла имеет вид:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}dx\int \limits _{a}^{x}dx...\int \limits _{a}^{x}\varphi (x)dx={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n-1}\varphi (t)dt}$.

Поскольку гамма-функция ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$, правой части в приведённой формуле можно придать смысл и при нецелых значениях ${\displaystyle n}$. Поэтому интегрирование нецелого (дробного) порядка определяется нижеследующим образом.

Пусть ${\displaystyle X}$ — некоторое пространство с мерой ${\displaystyle \mu }$, которую считают полной. Линейная комбинация совокупности всех функций ${\displaystyle f}$, суммируемых на ${\displaystyle X}$, также является суммируемой и образует линейное пространство. Это пространство обозначается ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$, а его норма задаётся формулой: ${\displaystyle \|f\|=\int |f(x)|\,d\mu }$^[1].

Пусть ${\displaystyle \varphi (x)\in L_{1}(a,b)}$. Интегралы

${\displaystyle (I_{a+}^{\alpha }\varphi )(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {\alpha }{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}{\frac {\varphi (t)}{(x-t)^{1-\alpha }}}dt,\,x>a}$,

${\displaystyle (I_{b-}^{\alpha }\varphi )(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {\alpha }{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {\varphi (t)}{(t-x)^{1-\alpha }}}dt,\,x<b}$, где ${\displaystyle \alpha >0}$,

называются интегралами дробного порядка ${\displaystyle \alpha }$. Первый из них называют левосторонним, а второй — правосторонним. Операторы ${\displaystyle I_{a+}^{\alpha }}$, ${\displaystyle I_{b-}^{\alpha }}$ называют операторами дробного интегрирования.

Чаще используется левостороннее интегрирование, для которого принято обозначение ${\displaystyle f_{\alpha }(x)=I_{\alpha }^{a}f(x)}$^[2].

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle I_{1}^{a}f(x)}$ — интеграл от ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle [a,x]}$, а ${\displaystyle I_{\alpha }^{a}f(x)}$ — интеграл от ${\displaystyle I_{\alpha -1}^{a}f(x)}$ по ${\displaystyle [a,x]}$, ${\displaystyle \alpha =2,3,...}$.

Интеграл Римана — Лиувилля порядка ${\displaystyle \alpha }$ от ${\displaystyle f}$ с началом в точке ${\displaystyle a}$ определяется следующим соотношением ${\displaystyle I_{\alpha }^{a}f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\,dt,\,a\leqslant x\leqslant b}$^[3].

Оба дробных интеграла (левосторонний и правосторонний), определены на функциях ${\displaystyle \varphi (x)\in L_{1}(a,b)}$, существуя почти всюду.

Дробное интегрирование обладает свойством

${\displaystyle I_{a+}^{\alpha }I_{a+}^{\beta }\varphi =I_{a+}^{\alpha +\beta }\varphi }$ и ${\displaystyle I_{b-}^{\alpha }I_{b-}^{\beta }\varphi =I_{b-}^{\alpha +\beta }\varphi }$, где ${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$.

Тождества выполняются в каждой точке, если ${\displaystyle \varphi (t)\in C([a,b])}$, и почти всюду, если ${\displaystyle \varphi (t)\in L_{1}(a,b)}$ (если ${\displaystyle \alpha +\beta \geqslant 1}$, то и для ${\displaystyle \varphi (t)\in L_{1}(a,b)}$ они справедливы в каждой точке).

Перестановка порядка интегрирования здесь обосновывается с помощью теоремы Фубини.

Это свойство называется полугрупповым свойством дробного интегрирования.

Между операторами дробного интегрирования ${\displaystyle I_{a+}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle I_{b-}^{\alpha }}$ существует следующая связь:

${\displaystyle QI_{a+}^{\alpha }=I_{b-}^{\alpha }Q,\,QI_{b-}^{\alpha }=I_{a+}^{\alpha }Q}$, где ${\displaystyle Q}$ — оператор «отражения»: ${\displaystyle (Q\varphi )(x)=\varphi (a+b-x)}$.

Если ${\displaystyle \varphi (x)\in L_{p}}$, ${\displaystyle \psi (x)\in L_{q}}$, где ${\displaystyle 1/p+1/q\leqslant 1+\alpha }$, при ${\displaystyle p\geqslant 1,q\geqslant 1}$, но ${\displaystyle p\neq 1,q\neq 1}$ в случае ${\displaystyle 1/p+1/q=1+\alpha }$, то справедлива формула: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\varphi (x)(I_{a+}^{\alpha }\psi )(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}\psi (x)(I_{b-}^{\alpha }\varphi )(x)\,dx}$, которая называется формулой дробного интегрирования по частям^[4].

Операция, обратная дробному интегрированию, носит название дробного дифференцирования.

Для функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, каждое из выражений

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}_{a+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{d \over dx}\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(x-t)^{\alpha }}},}$

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}_{b-}^{\alpha }f)(x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{d \over dx}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t)\,dt}{(t-x)^{\alpha }}}}$, где ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

называется дробной производной порядка ${\displaystyle \alpha }$, соответственно левосторонней и правосторонней.

Вышеприведённые дробные производные называют обычно производными Римана — Лиувилля^[4].

Операции дробного интегрирования ${\displaystyle I_{a+}^{\alpha }}$, ${\displaystyle I_{b-}^{\alpha }}$ и дробного дифференцирования ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{a+}^{\alpha }}$, ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{b-}^{\alpha }}$ имеют смысл и при комплексных значениях ${\displaystyle \alpha >0}$ таких, что вещественная часть комплексного числа ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha >0}$ (случай ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha =0}$ рассматривается особо). При этом сохраняются все вышеприведённые определения и формулы для значений многозначной степенной функции ${\displaystyle \tau ^{\alpha -1},\alpha \in \mathbb {C} }$, которая всюду определяются как ${\displaystyle \tau ^{\alpha }=\tau ^{\alpha _{0}}[\cos(\theta \ln \tau )+i\sin(\theta \ln \tau )]}$, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}+i\theta }$, ${\displaystyle \tau >0}$.

Дифферинтегралы комплексного порядка ${\displaystyle \alpha }$ (${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha \neq 0}$) являются аналитическим продолжением по параметру ${\displaystyle \alpha }$ дифферинтегралов, определённых первоначально при ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\alpha =0}$.

В случае чисто мнимого порядка ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha =0}$:

• дробные интегралы определяются как

${\displaystyle I_{a+}^{i\theta }f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,{\frac {1}{\Gamma (1+i\theta )}}{d \over dx}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{i\theta }f(t)\,dt,}$

${\displaystyle I_{b-}^{i\theta }f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,-{\frac {1}{\Gamma (1+i\theta )}}{d \over dx}\int \limits _{x}^{b}(t-x)^{i\theta }f(t)\,dt}$, где ${\displaystyle \alpha >0}$.

• дробная производная определяется формулой:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{a+}^{i\theta }f={\frac {1}{\Gamma (1-i\theta )}}{d \over dx}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{-i\theta }f(t)\,dt}$.

• для ${\displaystyle \alpha =0}$ единичный оператор определяется соотношением: ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{a+}^{0}\varphi \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,I_{a+}^{0}\varphi =\varphi }$.

Между интегралами и производными чисто мнимого порядка нет существенного различия^[5].