Теорема Тонелли — Фубини

Пусть даны два пространства с ${\displaystyle \sigma }$-конечными мерами ${\displaystyle \left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2}$. Обозначим через ${\displaystyle \left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2}\right)}$ их произведение. Пусть функция ${\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb {R} }$ интегрируема относительно меры ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$. Тогда

• функция ${\displaystyle x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)}$ определена ${\displaystyle \mu _{1}}$-почти всюду и интегрируема относительно ${\displaystyle \mu _{1}}$;
• функция ${\displaystyle x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)}$ определена ${\displaystyle \mu _{2}}$-почти всюду и интегрируема относительно ${\displaystyle \mu _{2}}$;
• имеют место равенства

${\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)}$

и

${\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right).}$

Пусть ${\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}$ — вероятностные пространства, и ${\displaystyle X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R} }$ — случайная величина на ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}$. Тогда

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}$

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Пусть ${\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике ${\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}$, то есть ${\displaystyle f\in \mathbb {R} (D)}$. Тогда

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}$

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

Любое разбиение ${\displaystyle \lambda }$ множества ${\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}$ получено некоторыми разбиениями ${\displaystyle \lambda _{x}}$ отрезка ${\displaystyle X=[a,\;b]}$ и ${\displaystyle \lambda _{y}}$ отрезка ${\displaystyle [c,\;d]}$, при этом объём любого прямоугольника ${\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}$ определяется ${\displaystyle V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|}$, где ${\displaystyle X_{i},Y_{j}}$ ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

${\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)}$

и нижних и верхних интегральных сумм функции ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)}$:
${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}$
${\displaystyle \sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|}$
${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}$
Тогда при интегрируемости ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle X\times Y}$, то есть равенстве ${\displaystyle \sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)}$ из вышеуказанных оценок интеграл ${\displaystyle (*)}$ также существует и имеет такое же значение, как и ${\displaystyle \iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.}$