Гипотеза Андрицы

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до ${\displaystyle 1{,}3002\times 10^{16}}$^[2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$.

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке ${\displaystyle n=4}$ со значением ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873\dots }$, и бóльших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания ${\displaystyle n}$, гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ое простое, а ${\displaystyle x}$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по ${\displaystyle x}$ находится при ${\displaystyle n=1}$, когда ${\displaystyle x_{\max }=1}$. Есть гипотеза, что наименьшее значение ${\displaystyle x}$ равно ${\displaystyle x_{\min }\approx 0{,}567148\dots }$^[3], которое находится при  ${\displaystyle n=30}$.

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ для ${\displaystyle x<x_{\min }}$.