Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если ${\displaystyle f(x)}$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен ${\displaystyle f(x)/d}$ принимает бесконечно много простых значений.

Если ${\displaystyle f(x)=kx+b}$ — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен ${\displaystyle {\text{НОД}}(k,b)}$. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {kx+b}{d}}}$ принимает бесконечное множество простых значений (видно, что ${\displaystyle f_{1}(x)}$ целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1.}$

В статье Bateman, Horn^[1] приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена ${\displaystyle f(x)}$, удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

${\displaystyle \pi _{f}(N)\sim {\frac {C(f)}{\deg f}}\int \limits _{2}^{N}{\frac {dt}{\ln t}},}$

где ${\displaystyle \pi _{f}(N)}$ — количество целых ${\displaystyle n\leq N}$ таких что ${\displaystyle f(n)}$ простое число, и константа ${\displaystyle C(f)=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p}}}{1-{\frac {1}{p}}}}}$, где ${\displaystyle p}$ пробегает простые числа и ${\displaystyle \omega (p)}$ — число решений сравнения ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$ в поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p).}$