АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

Боудич, Брайан

Бра́йан Хе́йворд Бо́удич (англ. Brian Hayward Bowditch; род. 1961[1], Нит, Гламорган, Уэльс, Великобритания) — британский математик. Известен своими работами в области геометрии и топологии, в частности в геометрической теории групп и топологии малых размерностей. Также известен решением задачи об ангеле и дьяволе[2].

Общие сведения
Брайан Боудич
англ. Brian Bowditch
Дата рождения 1961[1]
Место рождения
Страна
Образование
Род деятельности математик, тополог
Награды и премии

Биография

Брайан Боудич родился в 1961 году в Ните (Уэльс). В 1983 году получил степень бакалавра искусств в Кембриджском университете. Затем продолжил обучение в докторантуре по математике в Уорикском университете под руководством Дэвида Эпштейна, где в 1988 году получил степень доктора философии[3]. После этого Боудич занимал постдокторские и приглашённые должности в Институте перспективных исследований в Принстоне (Нью-Джерси), Уорикском университете, Институте высших научных исследований в Бюр-сюр-Иветт, Мельбурнском университете и Абердинском университете. В 1992 году получил должность в Саутгемптонском университете, где работал до 2007 года. В 2007 году Боудич перешёл в Уорикский университет, где получил должность профессора математики.

В 1997 году Боудич был удостоен премии Уайтхеда Лондонского математического общества за работу в области геометрической теории групп и геометрической топологии[4][5]. Выступал с приглашённым докладом на Европейском математическом конгрессе 2004 года в Стокгольме.

Боудич является бывшим членом редакционной коллегии журнала Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse[6] и бывшим редакционным советником Лондонского математического общества[7].

Вклад в математику

Ранние результаты Боудича включают прояснение классического понятия геометрической конечности для многомерных клейновых групп в постоянной и переменной отрицательной кривизне. В статье 1993 года Боудич доказал, что пять стандартных характеристик геометрической конечности для дискретных групп изометрий гиперболического 3-пространства и гиперболической плоскости (включая определение через наличие фундаментального многогранника с конечным числом граней) остаются эквивалентными для групп изометрий гиперболического n-пространства, где n ≥ 4. Однако он показал, что в размерностях n ≥ 4 условие наличия области Дирихле с конечным числом граней больше не эквивалентно стандартным понятиям геометрической конечности. В последующей статье[8] Боудич рассмотрел аналогичную проблему для дискретных групп изометрий многообразия Адамара с защемлённой (но не обязательно постоянной) отрицательной кривизной и произвольной размерности n ≥ 2. Он доказал, что четыре из пяти эквивалентных определений геометрической конечности, рассмотренных в его предыдущей статье, остаются эквивалентными в этой общей постановке, но условие наличия фундаментального многогранника с конечным числом граней им больше не эквивалентно.

Значительная часть работы Боудича в 1990-х годах была посвящена изучению границ на бесконечности гиперболических групп. Он доказал гипотезу о точке разреза, которая утверждает, что граница одноконцевой гиперболической группы не имеет глобальных точек разреза. Боудич сначала доказал эту гипотезу в основных случаях одноконцевой гиперболической группы, которая не расщепляется над двухконцевой подгруппой[9] (то есть подгруппой, содержащей бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса), а также для одноконцевых гиперболических групп, которые являются «сильно достижимыми»[10]. Общий случай гипотезы был завершён вскоре после этого Г. Анандой Сварупом[11], который охарактеризовал работу Боудича следующим образом: «Наиболее значительные достижения в этом направлении были осуществлены Брайаном Боудичем в серии статей ([4]-[7]). Мы в значительной степени опираемся на его работу». Вскоре после статьи Сварупа Боудич представил альтернативное доказательство гипотезы о точке разреза в общем случае[12]. Работа Боудича опиралась на извлечение различных дискретных древовидных структур из действия гиперболической группы на её границу.

Боудич также доказал, что (за исключением нескольких случаев) граница одноконцевой гиперболической группы G имеет локальные точки разреза тогда и только тогда, когда G допускает существенное расщепление, как свободное произведение с объединением или HNN-расширение, над виртуально бесконечной циклической группой. Это позволило Боудичу создать[13] теорию JSJ-разложения для гиперболических групп, которая была более канонической и более общей (в частности, потому что она охватывала группы с нетривиальным кручением), чем оригинальная теория JSJ-разложения Цлиля Селы. Одним из следствий работы Боудича является то, что для одноконцевых гиперболических групп (за несколькими исключениями) наличие нетривиального существенного расщепления над виртуально циклической подгруппой является инвариантом квазиизометрии.

Боудич также дал топологическую характеризацию гиперболических групп, тем самым решив гипотезу, предложенную Михаилом Громовым. А именно, Боудич доказал[14], что группа G является гиперболической тогда и только тогда, когда G допускает действие гомеоморфизмами на совершенном метризуемом компакте M как «группа равномерной сходимости», то есть такое, что диагональное действие G на множестве различных троек из M является вполне разрывным и кокомпактным; кроме того, в этом случае M G-эквивариантно гомеоморфно границе ∂G группы G. Позже, опираясь на эту работу, аспирант Боудича Яман дал топологическую характеризацию относительно гиперболических групп[15].

Значительная часть работы Боудича в 2000-х годах касается изучения комплекса кривых, с различными приложениями к 3-многообразиям, группам классов отображений и клейновым группам. Комплекс кривых C(S) поверхности конечного типа S, введённый Харви в конце 1970-х годов[16], имеет множество классов свободной гомотопии существенных простых замкнутых кривых на S в качестве множества вершин, где несколько различных вершин образуют симплекс, если соответствующие кривые могут быть реализованы непересекающимися. Комплекс кривых оказался фундаментальным инструментом в изучении геометрии пространства Тейхмюллера, групп классов отображений и клейновых групп. В статье 1999 года Говард Мазур и Яир Минский доказали, что для ориентируемой поверхности конечного типа S комплекс кривых C(S) является гиперболическим по Громову. Этот результат был ключевым компонентом в последующем доказательстве гипотезы о конечной ламинации Уильяма Тёрстона, решение которой было основано на совместной работе Яира Минского, Говарда Мазура, Джеффри Брока и Ричарда Канари[17]. В 2006 году Боудич дал другое доказательство[18] гиперболичности комплекса кривых. Доказательство Боудича более комбинаторно и отличается от оригинального аргумента Мазура-Минского. Результат Боудича также даёт оценку константы гиперболичности комплекса кривых, которая логарифмически зависит от сложности поверхности, а также даёт описание геодезических в комплексе кривых в терминах чисел пересечения. В последующей статье 2008 года Боудич[19] развил эти идеи и получил новые количественные результаты конечности относительно так называемых «жёстких геодезических» в комплексе кривых, понятия, введённого Мазуром и Минским для борьбы с тем фактом, что комплекс кривых не является локально конечным. В качестве приложения Боудич доказал, что, за исключением нескольких поверхностей малой сложности, действие группы классов отображений Mod(S) на C(S) является «ацилиндрическим» и что асимптотические длины переноса псевдоаносовских элементов Mod(S) на C(S) являются рациональными числами с ограниченными знаменателями.

В статье 2007 года Боудич[2] представил положительное решение задачи об ангеле и дьяволе Джона Конвея[20]: Боудич доказал[2], что 4-ангел имеет выигрышную стратегию и может ускользнуть от дьявола в «игре ангела». Независимые решения задачи об ангеле были получены примерно в то же время Андрашем Мате[21] и Оддваром Клостером[22].

Публикации

Примечания

  1. ↑ 1 2 Brian Hayward Bowditch // NUKAT — 2002.
  2. ↑ 1 2 3 B. H. Bowditch, "The angel game in the plane" Combinatorics, Probability and Computing, vol. 16 (2007), no. 3, pp. 345–362
  3. ↑ Brian Hayward Bowditch at the Mathematics Genealogy Project
  4. ↑ Lynne Williams. "Awards" Times Higher Education, 24 October 1997
  5. ↑ "Records of Proceedings at Meetings" Bulletin of the London Mathematical Society, vol 30 (1998), pp. 438–448; Quote from the Whitehead Prize award citation for Brian Bowditch, pp. 445–446:"Bowditch has made significant and totally original contributions to hyperbolic geometry, especially to the associated group theory. [...] His deepest work is on the asymptotic properties of word-hyperbolic groups. This work simultaneously generalises and simplifies recent work of several authors, and it already has many applications. In one application, he develops a new theory of groups acting on dendrites. Building on previous contributions of Gilbert Levitt, G. Ananda Swarup and others, this led him to a solution of the 'cut-point conjecture'. This recent work also yields a characterisation of word-hyperbolic groups as convergence groups. Bowditch has solved several major problems in geometric group theory using methods that are elegant and as elementary as they can be."
  6. ↑ Editorial Board, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Accessed 15 October 2008
  7. ↑ London Mathematical Society 2005 publications Архивировано 27 октября 2005 года. London Mathematical Society. Accessed 15 October 2008.
  8. ↑ B. H. Bowditch, "Geometrical finiteness with variable negative curvature" Duke Mathematical Journal, vol. 77 (1995), no. 1, 229–274
  9. ↑ B. H. Bowditch, "Group actions on trees and dendrons" Topology, vol. 37 (1998), no. 6, pp. 1275–1298
  10. ↑ B. H. Bowditch, "Boundaries of strongly accessible hyperbolic groups" The Epstein birthday schrift, pp. 51–97, Geometry&Topology Monographs, vol. 1, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1998
  11. ↑ G. A. Swarup, "On the cut point conjecture" Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 2 (1996), no. 2, pp. 98–100
  12. ↑ B. H. Bowditch, "Connectedness properties of limit sets" Transactions of the American Mathematical Society, vol. 351 (1999), no. 9, pp. 3673–3686
  13. ↑ B. H. Bowditch, "Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups" Acta Mathematica, vol. 180 (1998), no. 2, 145–186.
  14. ↑ B. H. Bowditch, "A topological characterisation of hyperbolic groups" Journal of the American Mathematical Society, vol. 11 (1998), no. 3, pp. 643–667.
  15. ↑ Asli Yaman, "A topological characterisation of relatively hyperbolic groups". Crelle's Journal, vol. 566 (2004), pp. 41–89.
  16. ↑ W. J. Harvey, "Boundary structure of the modular group". Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), pp. 245–251, Ann. of Math. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981. ISBN 0-691-08264-2
  17. ↑ Yair Minsky, "Curve complexes, surfaces and 3-manifolds". International Congress of Mathematics. Vol. II, pp. 1001–1033, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006. ISBN 978-3-03719-022-7
  18. ↑ Brian H. Bowditch, "Intersection numbers and the hyperbolicity of the curve complex", Crelle's Journal, vol. 598 (2006), pp. 105–129, doi:10.1515/CRELLE.2006.070.
  19. ↑ Brian H. Bowditch, "Tight geodesics in the curve complex" Inventiones Mathematicae, vol. 171 (2008), no. 2, pp. 281–300.
  20. ↑ John H. Conway, "The angel problem" Games of no chance (Berkeley, California, 1994), pp. 3–12, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 29, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57411-0
  21. ↑ András Máthé, "The angel of power 2 wins" Combinatorics, Probability and Computing, vol. 16 (2007), no. 3, pp. 363–374 MR: 2312432
  22. ↑ Oddvar Kloster, "A solution to the angel problem" Theoretical Computer Science, vol. 389 (2007), no. 1-2, pp. 152–161 MR: 2363369

Дополнительно по теме

Категории