Начал работать в управлении внешних сношений Министерства рыбного хозяйства (Министерства рыбной промышленности) СССР; затем работал в проектном институте «Союзморниипроект» и в Институте мировой экономики и международных отношений (ИМЭМО) АН СССР. Работал также и в советском НИИ рыбного хозяйства (ВНИЭРХ). В период с 1970 по 1973 год обучался в аспирантуре на кафедре международного права ЛГУ (заочно). В 1973 году защитил в ЛГУ кандидатскую диссертацию, выполненную под научным руководством профессора Сергея Малинина, на тему «ФАО и правовое регулирование промысла живых ресурсов открытого моря» — стал кандидатом юридических наук.
В 1986 году Бекяшев успешно защитил докторскую диссертацию по теме «Международно-правовые (международноправовые) проблемы управления морским рыболовством: на примере деятельности межправительственных рыбохозяйственных организаций» — стал доктором юридических наук. В феврале 1989 года начал преподавать в Московской государственной юридической академии (МГЮА), где занял должность заведующего кафедрой международного права. Являлся членом Постоянной палаты третейского суда ООН в Гааге и входил в состав международного Арбитража по морскому праву, также действовавшего в рамках ООН.
Бекяшев являлся членом научно-консультативного совета по международному праву, работавшего при Государственной думе РФ; входил в состав учёных советов Казанского государственного университета и МГЮА. В 1996 году также стал членом экспертного совета по правовым наукам Высшей аттестационной комиссии (ВАК). Был избран в состав исполнительного комитета Советской ассоциации международного права (затем — Российской ассоциации международного права); занимал пост вице-президента в Ассоциации международного морского права. Принимал участие в ряде международных конференций: входил в состав официальных делегаций, выезжавших на сессии Ассамблеи международной морской организации и на Всемирные конференции министров рыболовства; участвовал в нескольких конференциях министров рыболовства стран Северной Атлантики.
В период с 1993 по 1995 год Бекяшев принимал участие в сессиях Конференции ООН по разработке и принятию Соглашения ООН 1995 года о трансграничных рыбных запасах и запасах далеко мигрирующих видов. Также принимал участие в работе ряда высших органов международных организаций, связанных с рыбной промышленностью.
Автор и соавтор более 250 научных публикаций, в том числе трёх десятков книг (семь учебников). Вёл работу по систематизации и кодификации источников по международному и рыболовному праву — являлся составителем сборников документов по проблемам морского права, включая двухтомник «Международное публичное право»:
«ФАО и правовые вопросы охраны живых ресурсов открытого моря» (1976);
«Международные морские организации» (1979);
«Охрана природы и рыбохозяйственное законодательство» (1981);
Видные учёные-юристы России (Вторая половина XX века) : энцикл. словарь биографий : по состоянию на 1 авг. 2004 г. / Рос. акад. правосудия; под ред. В. М. Сырых. — М.: Рос. акад. правосудия, 2006. — 547 с. : портр.; 30 см; ISBN 5-93916-056-5.