Арбелос

Наиболее ранний дошедший до нас источник, содержащий систематическое исследование арбелоса, — «Книга лемм» (лат. Liber Assumptorum, араб. كتاب المفروضات‎). Авторство приписывается Архимеду (ок. 287—212 до н. э.), однако вопрос атрибуции остаётся дискуссионным: текст не упоминается ни в каталоге сочинений Архимеда у Евтокия, ни у других античных комментаторов. Ряд историков математики допускает, что сохранившаяся редакция представляет собой позднюю компиляцию, включающую подлинные результаты Архимеда наряду с дополнениями поздних авторов^[3][1].

Оригинальный греческий текст утрачен. Сочинение сохранилось благодаря арабскому переводу, выполненному Сабитом ибн Куррой (836—901) в Багдаде в рамках масштабной переводческой деятельности Дома мудрости при Аббасидах^[1][4]. Латинский перевод с арабского появился в 1661 году благодаря Джованни Борелли и Аврааму Экчелленсису^[1].

Предложения «Книги лемм», непосредственно связанные с арбелосом:

№ предложения	Содержание
4	Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром ${\displaystyle CD}$ (перпендикуляр из точки ${\displaystyle C}$ к большой полуокружности).
5	Окружность, вписанная в левую часть арбелоса (касающаяся ${\displaystyle \omega _{0}}$, ${\displaystyle \omega _{1}}$ и отрезка ${\displaystyle CD}$), имеет определённый радиус.
6	Аналогичная окружность в правой части имеет тот же радиус — отсюда название «близнецы Архимеда».
7	Квадрат стороны общей касательной двух малых полуокружностей выражается через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.
8	Связь между касательной и перпендикуляром ${\displaystyle CD}$.

^[1]

Исследование арбелоса осуществлялось греческими геометрами при изучении фигур, ограниченных дугами окружностей, — луночек и серпов. Ещё Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) доказал квадрируемость определённых луночек; арбелос, площадь которого также выражается через площадь круга, принадлежит той же идейной традиции^[5]. Однако, в отличие от луночек Гиппократа, арбелос не использовался для решения задачи о квадратуре круга; его значение было скорее эстетическим и теоретическим^[2].

В IV веке н. э. Папп Александрийский обратился к арбелосу в книге IV «Математического собрания» (Synagoge). Папп построил бесконечную последовательность касающихся окружностей, вписанных в арбелос, — так называемую цепь Паппа — и доказал, что расстояние от центра ${\displaystyle n}$-й окружности до основания ${\displaystyle AB}$ равно ${\displaystyle n}$ её диаметрам:

${\displaystyle y_{n}=2nr_{n},}$

что стало одним из первых примеров рекуррентно определённой геометрической конструкции^[6]. Папп также обобщил результаты Архимеда, рассмотрев случаи, когда малые полуокружности заменяются на полные окружности, и исследовал свойства касательных^[6].

Арабские математики IX—XII веков сохранили и расширили наследие Архимеда. Помимо перевода Сабита ибн Курры, арбелос упоминается в комментариях Ибн аль-Хайсама (Альхазена, 965—1040) к коническим сечениям и в трудах Аль-Бируни (973—1048), который использовал свойства взаимно касающихся окружностей в задачах геодезии^[4]. В средневековой Европе «Книга лемм» стала доступна лишь после латинских переводов XVII века и до этого прямого влияния на западную геометрическую традицию не оказала^[3].

После публикации латинского перевода Борелли (1661) арбелос привлёк внимание европейских математиков. В XVIII веке отдельные свойства фигуры рассматривались в контексте развивавшейся аналитической геометрии и теории конических сечений. Рене Декарт в переписке затрагивал задачи о взаимно касающихся окружностях, родственные архимедовым конструкциям, хотя не использовал термин «арбелос» напрямую^[2].

Развитие теории взаимно касающихся окружностей в XIX-XX веках (Я. Штейнер, Ф. Содди) и создание метода геометрической инверсии дали исследователям арбелоса универсальный инструмент: сложные конфигурации окружностей стали сводиться к простым симметричным случаям^[7].

Современный этап изучения арбелоса начался с работ нескольких математиков-энтузиастов:

• 1930-1960-е годы — арбелос активно популяризируется в англоязычной дидактической и популярной литературе; задачи и заметки о нём регулярно появляются в журнале American Mathematical Monthly и других изданиях^[2].
• 1974 — Леон Банкофф (1908—1997), стоматолог из Лос-Анджелеса и математик-любитель, публикует статью «Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?», в которой описывает третью окружность, конгруэнтную архимедовым близнецам. Окружность Банкоффа проходит через вершину перпендикуляра ${\displaystyle D}$ и касается двух внутренних полуокружностей арбелоса^[8].
• 1979 — Банкофф обнаруживает ещё одну архимедову окружность (позднее вошедшую в семейство «окружностей Банкоффа»)^[9].
• 1998-1999 — независимо друг от друга Томас Шох (США) и Питер Ву (США) открывают новые семейства архимедовых окружностей. Совместная статья Доджа, Шоха, Ву и Юя (1999) систематизирует результаты и каталогизирует 29 таких окружностей^[10].

• Александр Богомольный (1950—2018) на образовательном сайте Cut-the-Knot собрал обширную коллекцию интерактивных апплетов и доказательств свойств арбелоса, сделав эту фигуру одной из наиболее популярных в интернет-сообществе любителей геометрии^[11].
• Хироши Окумура и Масаюки Ватанабэ (Япония) исследовали конфигурации, аналогичные арбелосу, в традиционной японской математике, показав, что математики эпохи Эдо (XVII—XIX вв.) независимо изучали цепи взаимно касающихся окружностей, родственные цепи Паппа^[12].
• В 2006 году Гарольд Боас опубликовал обзорную статью «Reflections on the Arbelos» в American Mathematical Monthly, подводящую итоги двух тысячелетий изучения фигуры и содержащую новые результаты^[2].
• К 2020-м годам описано несколько десятков различных архимедовых окружностей арбелоса; их систематизация представлена в онлайн-каталоге Флора ван Ламоена и в последующих исследованиях^[10][2][13].

Пусть дан отрезок ${\displaystyle AB}$ длины ${\displaystyle 2r}$. На нём выбирается произвольная внутренняя точка ${\displaystyle C}$, делящая отрезок на части ${\displaystyle AC=2a}$ и ${\displaystyle CB=2b}$, так что ${\displaystyle a+b=r}$. По одну сторону от прямой ${\displaystyle AB}$ строятся три полуокружности:

1. ${\displaystyle \omega _{0}}$ — полуокружность с диаметром ${\displaystyle AB}$ (радиус ${\displaystyle r=a+b}$);
2. ${\displaystyle \omega _{1}}$ — полуокружность с диаметром ${\displaystyle AC}$ (радиус ${\displaystyle a}$);
3. ${\displaystyle \omega _{2}}$ — полуокружность с диаметром ${\displaystyle CB}$ (радиус ${\displaystyle b}$).

Арбелос — это замкнутая область, лежащая внутри ${\displaystyle \omega _{0}}$ и вне ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$^[7].

Длина внешней дуги (полуокружность ${\displaystyle \omega _{0}}$) равна

${\displaystyle \ell _{0}=\pi (a+b),}$

а сумма длин двух внутренних дуг составляет

${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=\pi a+\pi b=\pi (a+b).}$

Таким образом, суммарная длина двух малых дуг равна длине большой дуги и не зависит от положения точки ${\displaystyle C}$^[7].

Пусть из точки ${\displaystyle C}$ восстановлен перпендикуляр к ${\displaystyle AB}$, пересекающий большую полуокружность ${\displaystyle \omega _{0}}$ в точке ${\displaystyle D}$. Тогда ${\displaystyle CD=2{\sqrt {ab}}}$ (как высота прямоугольного треугольника, вписанного в полуокружность^[7]). Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром ${\displaystyle CD}$:

${\displaystyle S={\frac {\pi }{2}}(a+b)^{2}-{\frac {\pi }{2}}a^{2}-{\frac {\pi }{2}}b^{2}=\pi ab={\frac {\pi }{4}}(2{\sqrt {ab}})^{2}={\frac {\pi }{4}}CD^{2}.}$

Это утверждение составляет предложение 4 «Книги лемм» Архимеда^[1].

Перпендикуляр ${\displaystyle CD}$ иногда называют прямой Архимеда; он играет роль оси симметрии многих конструкций внутри арбелоса^[2].

По обе стороны от прямой ${\displaystyle CD}$ в арбелос можно вписать по окружности, каждая из которых касается ${\displaystyle \omega _{0}}$, одной из малых полуокружностей и отрезка ${\displaystyle CD}$. Архимед доказал, что эти две окружности конгруэнтны (предложения 5 и 6 «Книги лемм»^[1]). Их общий радиус равен

${\displaystyle r_{A}={\frac {ab}{a+b}}.}$

Это — гармоническое среднее величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, делённое на 2^[7]. Любая окружность, связанная с арбелосом и имеющая радиус ${\displaystyle r_{A}}$, называется архимедовой окружностью^[10].

В арбелос вписывается бесконечная последовательность окружностей ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},\ldots }$, построенная следующим образом:

• ${\displaystyle C_{1}}$ касается всех трёх полуокружностей ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1},\omega _{2}}$;
• каждая следующая ${\displaystyle C_{n}}$ касается ${\displaystyle \omega _{0}}$, ${\displaystyle \omega _{1}}$ (или ${\displaystyle \omega _{2}}$) и предыдущей ${\displaystyle C_{n-1}}$.

Теорема Паппа. Если ${\displaystyle r_{n}}$ — радиус, а ${\displaystyle y_{n}}$ — расстояние от центра окружности ${\displaystyle C_{n}}$ до прямой ${\displaystyle AB}$, то

${\displaystyle y_{n}=2nr_{n}.}$

Иными словами, центр ${\displaystyle n}$-й окружности находится на высоте, равной ${\displaystyle n}$ её диаметрам^[6]. Этот факт доказывается с помощью инверсии, при которой арбелос переходит в полосу между двумя параллельными прямыми, а цепь Паппа — в цепочку равных касающихся окружностей^[7].

В 1974 году Леон Банкофф обнаружил третью архимедову окружность в арбелосе. Пусть ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$ — малые полуокружности арбелоса, ${\displaystyle CD}$ — перпендикуляр из точки ${\displaystyle C}$ к диаметру ${\displaystyle AB}$, пересекающий большую полуокружность ${\displaystyle \omega _{0}}$ в точке ${\displaystyle D}$, а ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle K_{2}}$ — архимедовы близнецы. Обозначим:

• ${\displaystyle M_{1}}$ — точку касания ${\displaystyle K_{1}}$ с полуокружностью ${\displaystyle \omega _{1}}$,
• ${\displaystyle M_{2}}$ — точку касания ${\displaystyle K_{2}}$ с полуокружностью ${\displaystyle \omega _{2}}$.

Тогда окружность, проходящая через три точки ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$, имеет радиус:

${\displaystyle r_{B}=r_{A}={\frac {ab}{a+b}},}$

то есть является архимедовой^[8]. Эта окружность получила название окружность Банкоффа (англ. Bankoff circle).

В 1998—1999 годах Томас Шох обнаружил несколько новых архимедовых окружностей, а Питер Ву доказал существование бесконечного семейства таких окружностей, центры которых лежат на определённой прямой внутри арбелоса^[10]. Совместная публикация Доджа, Шоха, Ву и Юя (1999) систематизировала результаты и каталогизировала 29 архимедовых окружностей. Впоследствии список расширялся; по состоянию на 2020-е годы их число превышает сотню^[2].

Многие свойства арбелоса получают короткие и изящные доказательства при использовании круговой инверсии. Если выполнить инверсию с центром в одной из точек ${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$, полуокружности ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{0}}$ переходят в пару параллельных прямых, а ${\displaystyle \omega _{2}}$ — в окружность, заключённую между ними^[7]. В этой «упрощённой» конфигурации:

• цепь Паппа превращается в столбец одинаковых касающихся окружностей, из чего немедленно следует теорема ${\displaystyle y_{n}=2nr_{n}}$;
• архимедовы близнецы переходят в два равных круга, симметрично расположенных относительно «средней» окружности;
• площадь арбелоса выражается через произведение ${\displaystyle ab}$, что соответствует площади образа при инверсии.

Инверсивный подход был популяризирован Коксетером и Грейтцером в книге Geometry Revisited (1967)^[7], а также И. Д. Жижилкиным^[14].

Салинон (греч. σάλινον — «солонка») — ещё одна фигура из «Книги лемм» Архимеда (предложение 14). Она ограничена четырьмя полуокружностями, диаметры которых лежат на одной прямой; две средние направлены в сторону, противоположную крайним. Площадь салинона, так же как и площадь арбелоса, равна площади определённого круга, связанного с построением^[1].

При вращении арбелоса вокруг оси ${\displaystyle AB}$ получается пространственная область, ограниченная сферой и двумя сферическими выемками. Объём такого тела вращения выражается аналогично площади плоского арбелоса через произведение радиусов^[2].

В 2010-х годах было предложено обобщение, в котором полуокружности заменяются дугами кривых вида ${\displaystyle y=f(x)}$ с подходящими свойствами выпуклости. Такие фигуры сохраняют ряд свойств классического арбелоса (например, аналог теоремы о площади)^[12].

Арбелос является популярным объектом задач математических олимпиад и конкурсов благодаря сочетанию наглядности, исторического контекста и богатства геометрических идей. Задачи с арбелосом встречаются на разных уровнях — от школьных кружков до международных соревнований.

Уровень	Тип задачи	Пример формулировки	Используемые методы
Базовый (7—9 класс)	Доказательство равенства длин дуг	«Покажите, что длина большой полуокружности арбелоса равна сумме длин двух малых»	Формула длины окружности, свойства касательных
Средний (9—10 класс)	Доказательство равенства площадей (теорема Архимеда)	«Докажите, что площадь арбелоса равна площади круга с диаметром ${\displaystyle CD}$»	Вычисление площадей сегментов, алгебраические преобразования[7]
Продвинутый (10—11 класс)	Нахождение радиуса архимедовых близнецов	«Найдите радиус окружности, касающейся ${\displaystyle CD}$ и двух внутренних полуокружностей арбелоса»	Подобие треугольников, теорема Пифагора, координатный метод
Олимпиадный (региональный/всероссийский)	Цепь Паппа: рекуррентные соотношения	«Докажите, что расстояние от основания арбелоса до центра ${\displaystyle n}$-й окружности цепи Паппа равно ${\displaystyle n\cdot d_{n}}$, где ${\displaystyle d_{n}}$ — её диаметр»	Метод математической индукции, инверсия, свойства эллипса[7][8]
Исследовательский (углублённые кружки)	Построение бесконечного семейства архимедовых окружностей	«Постройте окружность, касающуюся двух заданных окружностей и прямой Шоха; докажите, что её радиус равен радиусу близнецов»	Инверсия относительно окружности, гомотетия, аналитическая геометрия[10]

1. Координатный метод. Помещает арбелос в декартову систему: ${\displaystyle A(0,0)}$, ${\displaystyle C(r,0)}$, ${\displaystyle B(1,0)}$. Уравнения полуокружностей записываются явно, условия касания сводятся к системе уравнений. Эффективен для задач на нахождение радиусов и координат центров.
2. Геометрическая инверсия. Инверсия относительно окружности с центром в точке касания переводит конфигурацию арбелоса в более простую (например, в полосу между параллельными прямыми). Особенно мощна при работе с цепями Паппа и семействами архимедовых окружностей^[7][15][14].
3. Подобие и гомотетия. Позволяют свести задачу о касании нескольких окружностей к задаче о касании одной окружности и двух прямых. Часто используется в доказательствах равенства радиусов «близнецов».
4. Алгебраизация через кривизны. Применение теоремы Декарта: если ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}$ — кривизны (обратные радиусы) четырёх попарно касающихся окружностей, то ${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})}$. Позволяет находить радиусы рекуррентно.
5. Динамическая геометрия (GeoGebra). Для исследовательских задач и проверки гипотез: построение интерактивных моделей арбелоса с изменяемым параметром ${\displaystyle r}$ помогает обнаружить инварианты и сформулировать доказуемые утверждения^[11][16].

• Задача III этапа республиканской олимпиады школьников по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в 2015—2016 уч. г. (9 класс): «Архимед, пытаясь решить задачу квадратуры круга, рассмотрел фигуру „арбелос“, ограниченную тремя полуокружностями. Найдите площадь „арбелоса“, если CD = a».
• Задача из журнала «Квант» 2009 г. (М2100): В угол с вершиной ${\displaystyle O}$ вписаны две окружности ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$. Луч с началом ${\displaystyle O}$ пересекает ${\displaystyle \omega _{1}}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$, а ${\displaystyle \omega _{2}}$ — в точках ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ так, что ${\displaystyle OA_{1}<OB_{1}<OA_{2}<OB_{2}}$. Окружность ${\displaystyle \gamma _{1}}$ касается внутренним образом окружности ${\displaystyle \omega _{1}}$ и касательных к ${\displaystyle \omega _{2}}$, проведённых из ${\displaystyle A_{1}}$. Окружность ${\displaystyle \gamma _{2}}$ касается внутренним образом окружности ${\displaystyle \omega _{2}}$ и касательных к ${\displaystyle \omega _{1}}$, проведённых из ${\displaystyle B_{2}}$. Докажите, что окружности ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ равны.
• Задача на сайте GoGeometry (Problem 1071): «На рисунке изображён арбелос ${\displaystyle ABC}$ (${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ — полуокружности с центрами ${\displaystyle O_{1}}$, ${\displaystyle O_{2}}$ и ${\displaystyle O}$). Полуокружности с диаметрами ${\displaystyle AO_{2}}$ (центр ${\displaystyle O_{3}}$) и ${\displaystyle CO_{1}}$ (центр ${\displaystyle O_{4}}$) пересекаются в точке ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle BD}$ перпендикулярен ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AD}$ пересекает полуокружности ${\displaystyle O_{1}}$ и ${\displaystyle O_{3}}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{3}}$ соответственно, ${\displaystyle CD}$ пересекает полуокружности ${\displaystyle O_{2}}$ и ${\displaystyle O_{4}}$ в точках ${\displaystyle C_{2}}$ и ${\displaystyle C_{4}}$ соответственно. Докажите, что:

1. ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle D}$ — коллинеарные точки;
2. ${\displaystyle A_{1}C_{2}}$ — общая касательная к полуокружностям ${\displaystyle O_{1}}$ и ${\displaystyle O_{2}}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ соответственно;
3. ${\displaystyle A_{3}C_{4}}$ — общая касательная к полуокружностям ${\displaystyle O_{3}}$ и ${\displaystyle O_{4}}$ в точках ${\displaystyle A_{3}}$ и ${\displaystyle C_{4}}$ соответственно;
4. ${\displaystyle A_{3}}$ — середина ${\displaystyle DA_{1}}$, а ${\displaystyle C_{4}}$ — середина ${\displaystyle DC_{2}}$;
5. ${\displaystyle M}$ — середина ${\displaystyle A_{3}C_{4}}$;
6. ${\displaystyle A_{3}C_{4}\parallel A_{1}C_{2}}$;
7. ${\displaystyle A_{1}C_{2}=BD=2A_{3}C_{4}}$»^[17].

• Для начинающих: начинать с визуализации — построить арбелос в GeoGebra, изменить параметр ${\displaystyle r}$, наблюдать инварианты (например, постоянство радиуса близнецов).
• Для подготовки к олимпиадам: отработать переход от конкретной конфигурации к общему случаю (введение параметра ${\displaystyle r}$), научиться выбирать оптимальный метод (координаты vs инверсия).
• Для исследовательской работы: изучить каталог архимедовых окружностей (более 29 семейств, описанных в работе Dodge et al., 1999), попробовать доказать новое свойство или построить ранее неизвестную конфигурацию.

Совет: многие задачи с арбелосом допускают несколько решений — синтетическое, координатное, с использованием инверсии. Сравнение разных подходов развивает гибкость математического мышления и глубже раскрывает геометрию фигуры.

• Архимед. Книга лемм // Сочинения (рус.) / пер. И. Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 488–502. — 784 с. — классические задачи на арбелос (предложения 4-8).
• Жижилкин И. Д. Инверсия (рус.). — М.: МЦНМО, 2009. — С. 23–30. — 72 с. — ISBN 978-5-94057-448-4. — введение в метод геометрической инверсии, применимый к задачам об арбелосе.
• Geometry Revisited (англ.). — Washington, D.C.: MAA, 1967. — 164 p. — ISBN 978-0-88385-619-2. — раздел об инверсии и её приложениях к арбелосу.
• Gutierrez A. Arbelos — Three Semicircles with Diameters on the Same Line (англ.). GoGeometry. Дата обращения: 10 мая 2026. — более 20 задач с интерактивными решениями.

Арбелос остаётся «живой» фигурой: новые задачи и обобщения продолжают появляться в работах математиков-энтузиастов и в материалах современных олимпиад, делая его идеальным объектом для развития геометрической интуиции и исследовательских навыков.