Цепь Паппа Александрийского

Возьмём точки ${\displaystyle A,B,C}$ в таком порядке на одной прямой и построим окружности ${\displaystyle C_{U}}$ и ${\displaystyle C_{V}}$ с диаметрами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно, центры которых обозначим ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но её граница состоит из двух окружностей вместо трёх дуг) и допускает цепь окружностей, также как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности ${\displaystyle C_{U}}$ снаружи, окружности ${\displaystyle C_{V}}$ изнутри и двух соседних окружностей цепи.

• Центры ${\displaystyle P_{n}}$ кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ не зависит от n:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}}$

• Если ${\displaystyle r=AC/AB}$, то центр ${\displaystyle P_{n}}$ и радиус ${\displaystyle r_{n}}$ n-го круга цепи задаются формулами

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),}$

${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$