Z-оценка

Если известны среднее значение и стандартное отклонение по генеральной совокупности, исходная оценка x переводится в стандартную оценку по формуле^[3]:

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$

где:

μ — математическое ожидание генеральной совокупности,

σ — стандартное отклонение генеральной совокупности.

Абсолютное значение z отражает расстояние между данным значением x и средним совокупности в единицах стандартного отклонения. z отрицательно, если значение ниже среднего, и положительно — если выше.

Для применения этой формулы требуется использовать именно параметры совокупности (не выборки), что на практике редко возможно, кроме ситуаций вроде стандартизированного тестирования, где измеряется вся совокупность.

Если среднее и стандартное отклонение совокупности неизвестны, стандартную оценку могут аппроксимировать с помощью средних и стандартных отклонений по выборке^[4][5][6][7]:

${\displaystyle z={x-{\bar {x}} \over S}}$

где:

${\displaystyle {\bar {x}}}$ — среднее по выборке,

S — стандартное отклонение по выборке.

Хотя этот момент следовало бы явно указывать, различие между использованием параметров выборки или совокупности зачастую не проводится. В любом случае, числитель и знаменатель выражаются в одних и тех же единицах, поэтому результат безразмерен.

Z-оценка используется в z-тесте при стандартизированном тестировании — аналоге t-критерия Стьюдента для случая, когда параметры совокупности известны, а не оцениваются. Поскольку на практике параметры известны редко, t-критерий куда более распространён.

Стандартная оценка применяется для вычисления интервалов прогнозирования. Прогнозный интервал [L, U] — это диапазон, такой что будущая оценка X с высокой вероятностью ${\displaystyle \gamma }$ попадёт в него:

${\displaystyle P(L<X<U)=\gamma ,}$

Для стандартной оценки Z величины X это выражается так:^[8]

${\displaystyle P\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)=\gamma .}$

Выбирая квантиль z по уравнению

${\displaystyle P\left(-z<Z<z\right)=\gamma }$

получаем:

${\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }$

В задачах контроля процессов значение Z позволяет количественно оценивать степень отклонения процесса от целевого значения.

Если результаты получены в разных шкалах, они могут быть переведены в z-оценки для облегчения сравнения. Dietz и соавт^[9]. приводят следующий пример сравнения баллов студентов на экзаменах SAT и ACT. В таблице указаны средние и стандартные отклонения для обоих экзаменов. Предположим, студент A набрал 1800 баллов на SAT, а студент B — 24 балла на ACT. Кто из них выступил относительно других тестируемых лучше?

Для студента A z-оценка: ${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }={1800-1500 \over 300}=1}$

Для студента B: ${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }={24-21 \over 5}=0,6}$

Поскольку z-оценка студента A выше, его результат был лучше по сравнению с одногруппниками, чем у студента B.

В продолжение этого примера, если предположить, что баллы SAT и ACT имеют нормальное распределение (что приближённо верно), то z-оценки позволяют вычислить процент испытуемых, результат которых ниже, чем у студентов A и B.

«Для некоторых многомерных техник, таких как многомерное шкалирование и кластерный анализ, концепция расстояния между объектами данных очень важна… Когда переменные имеют разные шкалы измерения, разумнее вычислять расстояния после их стандартизации.»^[10]

В анализе главных компонент часто производится стандартизация переменных с разными шкалами или существенно различающимися диапазонами^[11].

Стандартизация переменных до множественной регрессии иногда используется для облегчения интерпретации^[12]. (стр. 95) отмечают:

«Стандартизированный коэффициент наклона регрессии — это наклон в уравнении регрессии при стандартизированных X и Y… Стандартизация X и Y — это вычитание из каждого значения своего среднего и деление результата на стандартное отклонение… В многомерной регрессии стандартизированные коэффициенты оценивают относительный вклад каждой переменной X.»

Однако Кутнер и др^[13]. (стр. 278) предупреждают: «… нужно с осторожностью интерпретировать любые коэффициенты регрессии, и стандартизованные в том числе. Если предикторы взаимосвязаны между собой, значения коэффициентов зависят от других переменных, включённых в модель… Величины стандартизованных коэффициентов зависят не только от корреляций между предикторами, но и от распределения наблюдений по каждой переменной, а эти распределения могут быть произвольными. Обычно не рекомендуется рассматривать величины стандартизованных коэффициентов как меру сравнительной значимости переменных-предикторов.»

В математической статистике случайная величина X стандартизируется вычитанием её математического ожидания ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ и делением на стандартное отклонение ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}:}$

${\displaystyle Z={X-\operatorname {E} [X] \over \sigma (X)}}$

Если рассматриваемая переменная — это выборочное среднее случайной выборки ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ из X:

${\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

то стандартизированное среднее вычисляется так:

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}$

Где дисперсия выборочного среднего рассчитывается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\operatorname {Var} \left(\sum x_{i}\right)=\sum \operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\\operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum x_{i}\right)={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\end{array}}}$

В области образовательных измерений T-оценка — это такая стандартная оценка Z, смещённая и отмасштабированная так, чтобы среднее было 50, а стандартное отклонение — 10^[14][15][16].

В диагностике минеральной плотности кости T-оценка — это стандартная оценка результата относительно распределения значений у здоровых 30-летних взрослых, со средним 0 и стандартным отклонением 1^[17].