Виртуальное приспособление

Данный раздел описывает построение закона управления для реализации виртуальных фиксаторов. Пусть робот представлен как чисто кинематическое устройство с положением эффектора ${\displaystyle \mathbf {p} =\left[x,y,z\right]}$ и ориентацией ${\displaystyle \mathbf {r} =\left[r_{\textrm {x}},r_{\textrm {y}},r_{\textrm {z}}\right]}$ относительно базовой системы координат ${\displaystyle F_{\textrm {r}}}$. Управляющий сигнал ${\displaystyle \mathbf {u} }$ представляется желаемой скоростью эффектора ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}=\left[{\dot {\mathbf {p} }},{\dot {\mathbf {r} }}\right]}$. В телеоперационных системах часто полезно масштабировать вводимую пользователем скорость ${\displaystyle \mathbf {v} _{\textrm {op}}}$ перед передачей контроллеру робота. Если управление производится по силе или позиции, эти значения предварительно пересчитываются в скорости (например, дифференцированием).

Таким образом, сигнальный вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ вычисляется по пользовательскому вводу ${\displaystyle \mathbf {v} _{\textrm {op}}}$:

${\displaystyle \mathbf {u} =c\cdot \mathbf {v} _{\textrm {op}}}$

Если ${\displaystyle c=1}$, возникает биунивокальное отображение движений между оператором и ведомым роботом.

Если ${\displaystyle c}$ заменяется диагональной матрицей ${\displaystyle \mathbf {C} }$, это позволяет независимо настраивать податливость по каждому измерению ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$. Например, если первые три диагональных элемента равны ${\displaystyle c}$, а остальные — нулю, то движение разрешено только по поступательной части, а вращения блокируются (жёсткий фиксатор). Если ненулевые элементы малы, допускается небольшое отклонение — фиксатор становится мягкий.

Для более сложных ограничений вводится зависящая от времени матрица ${\displaystyle \mathbf {D} (t)\in \mathbb {R} ^{6\times n},~n\in [1..6]}$, задающая предпочтительное направление в каждый момент времени. При ${\displaystyle n=1}$ направление совпадает с линией в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$, а при ${\displaystyle n=2}$ — с поверхностью. На основе ${\displaystyle \mathbf {D} }$ определяются два оператора-проекции^[24] — проективные на подпространство столбцов (span) и его ядро (kernel):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Span}}(\mathbf {D} )&\equiv \left[\mathbf {D} \right]=\mathbf {D} (\mathbf {D} ^{T}\mathbf {D} )^{-1}\mathbf {D} ^{T}\\{\textrm {Kernel}}(\mathbf {D} )&\equiv \langle \mathbf {D} \rangle =\mathbf {I} -\left[\mathbf {D} \right]\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle \mathbf {D} }$ не имеет полного ранга, вместо обратной матрицы используется псевдообратная^[24]:

${\displaystyle {\textrm {Span}}(\mathbf {D} )\equiv \left[\mathbf {D} \right]=\mathbf {D} (\mathbf {D} ^{T}\mathbf {D} )^{\dagger }\mathbf {D} ^{T}}$

где ${\displaystyle \mathbf {D} ^{\dagger }}$ — псевдообратная матрица ${\displaystyle \mathbf {D} }$.

Введение дополнительной податливости только по нежелательному направлению даёт итоговое выражение:

${\displaystyle \mathbf {v} =c\left(\mathbf {v} _{\textrm {D}}+c_{\tau }\cdot \mathbf {v} _{\tau }\right)=c\left(\left[\mathbf {D} \right]+c_{\tau }\langle \mathbf {D} \rangle \right)\mathbf {v} _{\textrm {op}}}$

Современные методы формулируют задачу управления виртуальным фиксатором как задачу оптимизации. В рамках такого подхода минимизируется отклонение от заданного ввода оператора при соблюдении ограничений, которые задаются в виде системы линейных неравенств^[25].

Математические модели формирования тактильной обратной связи для виртуальных фиксаторов базируются на расчёте сил сопротивления или притяжения, а также на алгоритмах импедансного и адмиттансного управления. Для создания тактильного отклика при приближении к границе фиксатора или целевой траектории профиль силы ${\displaystyle f(x)}$ может описываться кусочно-заданным кубическим полиномом:

• ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$ при ${\displaystyle 0\leq x<X/2}$;
• ${\displaystyle f(x)=a_{2}(X-x)^{2}+a_{3}(X-x)^{3}}$ при ${\displaystyle X/2\leq x\leq X}$;
• ${\displaystyle f(x)=0}$ за пределами зоны действия.

Здесь ${\displaystyle x}$ — расстояние до точки пути, ${\displaystyle X}$ — радиус зоны действия фиксатора, а ${\displaystyle a_{2}}$ и ${\displaystyle a_{3}}$ — коэффициенты полинома^[26]. При импедансном управлении система реагирует на кинематическое отклонение, генерируя соответствующую силу сопротивления. Базовое уравнение управления имеет вид: ${\displaystyle F=K_{x}(x_{d}-x)+D_{x}({\dot {x}}_{d}-{\dot {x}})+{\hat {\Lambda }}(q){\ddot {x}}_{d}+{\hat {\mu }}(q,{\dot {q}})+{\hat {\gamma }}(q)+{\hat {\eta }}(q,{\dot {q}})}$, где ${\displaystyle x_{d}}$ и ${\displaystyle x}$ — заданное и текущее положение, ${\displaystyle K_{x}}$ и ${\displaystyle D_{x}}$ — параметры жёсткости и демпфирования фиксатора, а остальные члены компенсируют динамику манипулятора^[27]. При адмиттансном управлении система измеряет приложенную внешнюю силу ${\displaystyle F_{ext}}$ (например, от оператора при контакте с границей) и вычисляет желаемое движение с учётом заданных параметров виртуальной массы ${\displaystyle M_{a}}$, демпфирования ${\displaystyle D}$ и жёсткости ${\displaystyle K}$: ${\displaystyle M_{a}{\ddot {x}}_{d}=-D({\dot {x}}_{d}-{\dot {x}})-K(x_{d}-x)+F_{ext}}$^[27].

Современный подход к обеспечению безопасности в задачах физического взаимодействия человека и робота (pHRI) базируется на использовании функций барьера управления (CBF)^[28][29]. Этот метод применяется для создания архитектуры виртуальных фиксаторов, позволяя настраивать баланс между производительностью управления и безопасностью. Использование CBF строго гарантирует невозможность выхода робота за установленные ограничения, предотвращая преодоление барьера. Математическая формулировка закона управления строится на интеграции робастных функций барьера управления в задачу квадратичного программирования (QP). Динамика системы с учётом человека описывается в аффинной форме: ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+g(x)u+d(x,t)}$^[30], где ${\displaystyle x}$ — вектор состояния, ${\displaystyle u}$ — вектор управления, ${\displaystyle d(x,t)}$ — ограниченное возмущение от действий человека, а ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — функции динамики. Виртуальный фиксатор задаётся через безопасное множество ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid h(x)\geq 0\}}$, где ${\displaystyle h(x)}$ — непрерывно дифференцируемая функция барьера. Для компенсации возмущений применяется робастное условие CBF: ${\displaystyle \nabla h(x)f(x)+\nabla h(x)g(x)u\geq -\alpha (h(x))+\delta _{h}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — функция принадлежности к классу ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, а ${\displaystyle \delta _{h}>0}$ — запас робастности^[30]. Условия CBF преобразуются в систему линейных неравенств и встраиваются в задачу QP, решаемую онлайн на каждом шаге управления. Целевая функция минимизирует отклонение от номинального управления ${\displaystyle u_{nom}}$ с учётом штрафов за использование переменных ослабления. Это позволяет найти оптимальный компромисс между выполнением номинальной задачи и соблюдением жёстких ограничений безопасности^[30]. Доказательство устойчивости и безопасности таких систем при физическом взаимодействии опирается на функции Ляпунова и условия пассивности^[31][32]. Анализ Ляпунова позволяет гарантировать пассивность системы по отношению к внешним силам, подтверждая сходимость и безопасность законов управления.