T-нормовые нечеткие логики

Семейство t-нормовых нечетких логик является частью более широких классов нечетких логик и многозначных логик. Для корректного построения импликации t-нормы обычно требуют непрерывности, а логики с непрерывными t-нормами относятся к классу субструктурных логик, в числе которых выделяются по факту исполнения закона прелинейности ((A → B) ∨ (B → A)). Изучаются как пропозициональные, так и логики первого порядка (или высших порядков) на основе t-норм, а также их расширения с модальными и другими операторами. Логики, ограничивающие семантику t-нормы подмножеством единичного отрезка (например, конечнозначные логики Лукасевича), обычно также включаются в семейство.

Важные примеры t-нормовых нечетких логик: монадическая логика t-норм (MTL) всех лево-непрерывных t-норм, базовая логика (BL) всех непрерывных t-норм, произведение логики нечетких множеств для произведения t-норм, а также логика nilpotent minimum для одноимённой t-нормы. Некоторые логики, мотивированные независимо, также входят в класс t-нормовых нечетких логик, например, логика Лукасевича (для t-нормы Лукасевича) или логика Гёделя—Дамметта (для минимальной t-нормы).

Как члены семейства нечетких логик, t-нормовые нечеткие логики в основном направлены на обобщение классической двухзначной логики через допущение промежуточных значений истинности между 1 (истина) и 0 (ложь), представляющих собой степени истинности высказываний. Эти степени рассматриваются как действительные числа из интервала [0, 1]. В t-нормовой пропозициональной нечеткой логике логические связки определяются как булевы функции, то есть значение истинности составного высказывания, образованного с помощью связки, определяется функцией (функцией истинности связки) от истинностных значений составляющих. Функции истинности действуют над множеством степеней истинности (в стандартной семантике — на [0, 1]); функция истинности n-арного связующего c — это функция F_c: [0, 1]ⁿ → [0, 1]. Такие функции обобщают классические таблицы истинности коннективов, распространяя их на более широкий класс значений.

T-нормовые нечеткие логики накладывают естественные ограничения на функцию истинности для конъюнкции. Функция истинности ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$ для конъюнкции предполагается удовлетворяющей следующим условиям:

• Коммутативность: ${\displaystyle x*y=y*x}$ для всех x и y из [0, 1], что означает независимость результата от порядка соединяемых высказываний, даже с промежуточными степенями истинности.
• Ассоциативность: ${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$ для всех x, y, z из [0, 1]; выражает независимость результата от порядка выполнения конъюнкции.
• Монотонность: если ${\displaystyle x\leq y}$, то ${\displaystyle x*z\leq y*z}$ для всех x, y, z из [0, 1], то есть увеличение степени истинности одного компонента не снижает итоговое значение.
• Нейтральность 1: ${\displaystyle 1*x=x}$ для любого x из [0, 1]. Эта аксиома отражает, что степень 1 соответствует полной истине, конъюнкция с которой не снижает значения второго операнда; наряду с предыдущими условиями, это гарантирует также ${\displaystyle 0*x=0}$ для любого x, что соотносится с полной ложью.
• Непрерывность функции ${\displaystyle *}$ (предыдущие условия достаточно обеспечить непрерывность по каждому аргументу). Это означает, что бесконечно малая поправка одного из значений не должна вызывать скачкообразного изменения результата. Для корректного поведения импликации (остатка), однако, достаточно левосторонней непрерывности^[1]. В общем случае в t-нормовой нечеткой логике только лево-непрерывность ${\displaystyle *}$ обязательна, что отражает предположение о недопустимости макроскопического уменьшения результатирующего значения при микроскопическом уменьшении одного из операндов.

Эти требования превращают функцию истинности конъюнкции в t-норму (лево-непрерывную), что и дало название семейству логик (t-нормовые логики). Отдельные логики могут накладывать дополнительные условия на поведение (например, логика Гёделя требует идемпотентности; логика IMTL — инволютивности отрицания).

Любая лево-непрерывная t-норма ${\displaystyle *}$ обладает единственным остатком, то есть бинарной функцией ${\displaystyle \Rightarrow }$, такой что для любых x, y, z∈[0, 1]

${\displaystyle x*y\leq z}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

Остаток такой t-нормы задаётся формулой

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

Это означает, что остаток — наивысшая функция (в точечном сравнении), гарантирующая ${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y}$ для всех x и y. Последнее соотносится с нечеткой версией правила modus ponens. Таким образом, остаток выступает наиболее слабой функцией, делающей нечеткий modus ponens корректным, и является естественным кандидатом на функцию истинности импликации в нечеткой логике. Лево-непрерывность t-нормы — необходимое и достаточное условие для такой взаимосвязи между конъюнкцией и ее остатком.

Функции истинности для других связок также могут быть определены через t-норму и ее остаток; например, остаточное отрицание ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$, биостаточная эквивалентность ${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x)}$. Функции истинности дополнительных связок могут вводиться явно: обычно используются минимум (альтернативная конъюнкция), максимум (дизъюнкция), или оператор Бааз-Дельта, определяемый на [0, 1]: ${\displaystyle \Delta x=1}$ при ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle \Delta x=0}$ иначе. Таким образом, лево-непрерывная t-норма, ее остатки и дополнительные функции истинности полностью определяют значения сложных формул.

Формулы, истинные при всех возможных оценках как 1, называются таутологиями относительно данной t-нормы ${\displaystyle *,}$ или ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$таутологиями. Совокупность всех ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$таутологий — логика t-нормы ${\displaystyle *,}$; такие формулы представляют собой "законы" нечеткой (t-нормовой) логики, действительные с полной степенью, независимо от истинности атомарных формул. Некоторые выражения являются таутологиями относительно целого класса t-норм; множество таких формул образует логику этого класса.

К важнейшим t-нормовым логикам относятся логики заданных t-норм или классов t-норм, например:

• логика Лукасевича — логика t-нормы Лукасевича ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• логика Гёделя—Дамметта — логика минимальной t-нормы ${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$
• логика произведения — логика произведения: ${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• монадическая t-нормовая логика ЛМТ (MTL) — логика (класса) всех лево-непрерывных t-норм
• базовая нечеткая логика ЛБЛ (BL) — логика (класса) всех непрерывных t-норм

Многие частные t-нормовые логики и логики классов t-норм обладают аксиоматизируемостью. Теорема о полноте аксиоматической системы относительно соответствующей t-нормовой семантики на отрезке [0, 1] называется стандартной полнотой логики. Помимо стандартной вещественной семантики, логики корректны и полны относительно общей алгебраической семантики, соответствующей определённым коммутативным интегральным ограниченным прелинейным решёткам с остатками.

Отдельные t-нормовые нечеткие логики были введены и изучались задолго до выделения самого семейства (и даже до появления понятий нечеткая логика и t-норма):

• логика Лукасевича (логика t-нормы Лукасевича) была предложена Яном Лукасевичем (1920) как трёхзначная логика^[2]; позднее она была обобщена на n-значный (для любого конечного n), а также на бесконечно-много-значный варианты, как в пропозициональной, так и в логике первого порядка^[3].
• логика Гёделя—Дамметта (логика минимальной t-нормы) возникла в ходе построения инфинитарной оценки Гёделем в 1932 году для интуиционистской логики^[4]; в 1959 году была исследована Дамметтом, который доказал для неё теорему о полноте^[5].

Систематическое изучение t-нормовых нечетких логик и их классов началось с монографии Metamathematics of Fuzzy Logic Петра Хайека (1998), где было введено понятие логики непрерывной t-нормы, детально рассмотрены три базовые непрерывные t-нормы (Лукасевича, Гёделя и произведения), а также базовая t-нормовая логика BL для всех непрерывных t-норм (и в пропозициональной, и в логике первого порядка). Книга также заложила исследование t-нормовых логик как неклассических логик с гильбертовскими исчислениями, алгебраической семантикой и многими свойствами, известными для других логик (теоремы о полноте, дедуктивности, сложности и т.д.).

С тех пор было введено множество t-нормовых нечетких логик и изучены их математические свойства. Некоторые из наиболее важных t-нормовых логик были предложены в 2001 году Эстевой и Годо (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM)^[1], Эстевой, Годо и Монтаньей (пропозициональная логика ŁΠ)^[6], и Чинтулой (ŁΠ для логики первого порядка)^[7].

Стандартный логический язык пропозициональных t-нормовых нечетких логик включает следующие связки:

• Импликация ${\displaystyle \rightarrow }$ (бинарная). В контексте не t-нормовых нечетких логик иногда называется остаточной импликацией или R-импликацией, так как её стандартная семантика — остаток t-нормы, создающей соответствующую конъюнкцию.
• Сильная конъюнкция ${\displaystyle \And }$ (бинарная). В логиках субструктур иногда обозначается ${\displaystyle \otimes }$ и называется групповая, интенсиональная, мультипликативная или параллельная конъюнкция.
• Слабая конъюнкция ${\displaystyle \wedge }$ (бинарная), также решёточная конъюнкция (так как в алгебраической семантике реализуется как операция meet в решётке). В субструктурных логиках также известна как аддитивная, экстенсиональная или сравнительная конъюнкция. В логике BL и её расширениях (но не во всех t-нормовых логиках) слабая конъюнкция выражается через импликацию и сильную конъюнкцию по формуле

${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$

 Наличие двух разновидностей конъюнкции характерно для свободных от правила сокращения субструктурных логик.

• Нижняя константа ${\displaystyle \bot }$ (нулевая арность); альтернативные обозначения: ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle {\overline {0}}}$. Обычно также называется нуль или ложь; соответствует классическому значению ложь.
• Отрицание ${\displaystyle \neg }$ (унарная). Иногда — остаточное отрицание, если учитываются иные связки отрицания; определяется через остаточную импликацию:

${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$

• Эквивалентность ${\displaystyle \leftrightarrow }$ (бинарная); определяется как

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$

 В t-нормовых логиках эта формула эквивалентна ${\displaystyle (A\rightarrow B)\And (B\rightarrow A)}$.

• Слабая дизъюнкция ${\displaystyle \vee }$ (бинарная), также решёточная дизъюнкция (в алгебраической семантике реализуется как операция join в решётке). В t-нормовых логиках выражается через другие связки по формуле

${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• Верхняя константа ${\displaystyle \top }$ (нулевая арность), также единица, обозначается ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle {\overline {1}}}$. Соответствует классической истине; в t-нормовых логиках определяется как

${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$

Некоторые пропозициональные t-нормовые логики вводят дополнительные связки, чаще всего следующие:

• Коннектив Дельта ${\displaystyle \triangle }$ — унарный связка, утверждающая классическую истинность утверждения; формулы вида ${\displaystyle \triangle A}$ ведут себя по классическим законам. Также этот связка известен как Бааз-Дельта (по имени М. Бааз, впервые применившего его к логике Гёделя—Дамметта)^[8]. Обозначение такого расширения t-нормовой логики ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle L_{\triangle }}$.
• Константы-истины — nullary-коннективы, задающие конкретные значения истинности из [0, 1]. Для действительного числа ${\displaystyle r}$ соответствующая константа обычно обозначается ${\displaystyle {\overline {r}}}$. Часто в язык добавляются все рациональные значения. Для них предполагается выполнение аксиом записи:^[9]

${\displaystyle {\overline {r\And s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}\And {\overline {s}}),\quad {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}\rightarrow {\overline {s}})}$ и т.д. для всех коннективов и констант истинности языка.

• Инволютивное отрицание ${\displaystyle \sim }$ (унарное) может добавляться, если стандартное остаточное отрицание не является инволюцией, то есть не выполняется ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$. Такие расширения логики L обозначаются ${\displaystyle L_{\sim }}$ и называются L с инволюцией.
• Сильная дизъюнкция ${\displaystyle \oplus }$ (бинарная). В субструктурных логиках также — групповая, интенсиональная, мультипликативная или параллельная дизъюнкция. В t-нормовых логиках, свободных от сокращения, чаще используется в присутствии инволютивного отрицания, когда она определяется по закону де Моргана через сильную конъюнкцию:

${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A\And \mathrm {\sim } B).}$

• Дополнительные t-нормовые конъюнкции и остаточные импликации. В выразительных t-нормовых логиках, например ŁΠ, возможно наличие более одной сильной конъюнкции или остаточной импликации; в вещественной семантике каждая связка реализует свою t-норму и остаток.

Формулы t-нормовой пропозициональной логики образуются привычно — из пропозициональных переменных (обычно их счётное множество) при помощи указанных связок. Для упрощения записи принято соглашение об иерархии связок:

• Унарные связки (самый высокий приоритет)
• Бинарные (не являющиеся импликацией/эквивалентностью)
• Импликация и эквивалентность (самый низкий приоритет)

Варианты t-нормовых логик первого порядка строятся на стандартном языке логики первого порядка с добавлением указанных пропозициональных связок и следующих кванторов:

• Универсальный квантор ${\displaystyle \forall }$
• Экзистенциальный квантор ${\displaystyle \exists }$

Варианты первого порядка соответствующей t-нормовой пропозициональной логики ${\displaystyle L}$ обычно обозначают ${\displaystyle L\forall }$.

Алгебраическая семантика преобладает в описании t-нормовых логик, выделяют три основных класса алгебр, относительно которых t-нормовая нечеткая логика ${\displaystyle L}$ полна:

• Общая семантика: все ${\displaystyle L}$-алгебры — алгебры, относительно которых логика корректна.
• Линейная семантика: все линейные ${\displaystyle L}$-алгебры, то есть те, где решёточный порядок линеен.
• Стандартная семантика: все стандартные ${\displaystyle L}$-алгебры — алгебры, где подлежащая решётка изоморфна отрезку [0, 1] с естественным порядком. В таких алгебрах сильная конъюнкция реализует непрерывную слева t-норму, а функции большинства коннективов определяются через t-норму (отсюда и термин t-нормовые логики, t-нормовые ${\displaystyle L}$-алгебры). В логиках с дополнительными связками распределение значений может ограничиваться условиями на стандартность: например, в ${\displaystyle L_{\sim }}$-алгебрах (логика L с инволюцией) значение ${\displaystyle \sim }$ задаётся как стандартная инволюция ${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x}$, а не произвольная инволюция^[10]. Поэтому в случае логик с дополнительными связками определение стандартности алгебр должно указываться явно.