Abc-гипотеза

Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует постоянная ${\displaystyle K(\varepsilon )}$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, таких, что ${\displaystyle a+b=c}$, выполняется неравенство

${\displaystyle \max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ — радикал числа ${\displaystyle abc}$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения ${\displaystyle abc}$.

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  ${\displaystyle c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.}$

• Условие ${\displaystyle \varepsilon >0}$ необходимо. Для любого ${\displaystyle K}$ существует тройка взаимно простых чисел ${\displaystyle a,b,c=a+b}$ таких, что ${\displaystyle c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)}$. Например тройка вида ${\displaystyle a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}}$, где ${\displaystyle K<3^{n-1}}$.

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней^[3].

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу^[4][5]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов^[6].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы^[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах^[8]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки^[9].

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств^[9][10] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка^[11][6]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения^[12].

На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, «Публикации Научно-исследовательского института математических наук») Научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — это институт, в котором работает Мотидзуки^[13][14].

В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS^[15].