Ядро (теория категорий)

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — это уравнитель его и нулевого морфизма ${\displaystyle 0\colon X\to Y}$. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Ядро ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — это морфизм ${\displaystyle k\colon K\to X}$, такой что:

• ${\displaystyle f\circ k}$ — нулевой морфизм из ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle Y}$:

  

• для любого морфизма ${\displaystyle k'\colon K'\to X}$, такого что ${\displaystyle f\circ k'}$ — нулевой, существует единственный морфизм ${\displaystyle u\colon K'\to K}$, такой что ${\displaystyle k\circ u=k'}$:

  

Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.

Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.

Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.

Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.

В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.