Физика элементарных частиц и теория представлений

В квантовой механике любое конкретное одночастичное состояние представляется в виде вектора в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$^[7]. Чтобы узнать, существование каких типов частиц допускается симметриями, важно классифицировать возможности ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, допускаемые симметриями, и их свойства. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — гильбертово пространство, описывающее конкретную квантовую систему, а ${\displaystyle G}$ — группа симметрий квантовой системы. Например, в релятивистской квантовой системе ${\displaystyle G}$ может быть группой Пуанкаре, в то время как для атома водорода ${\displaystyle G}$ может быть группой вращения SO(3). Состояние частицы более точно характеризуется ассоциированным проективным гильбертовым пространством ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$, также называемым пространством лучей, поскольку два вектора, отличающиеся ненулевым скалярным коэффициентом, соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, представленному «лучом» в гильбертовом пространстве, которое является классом эквивалентности в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и, согласно естественной проекционной карте ${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$, элементом ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$.

По определению симметрии квантовой системы, существует групповое действие на ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$. Для каждого ${\displaystyle g\in G}$ существует соответствующее преобразование ${\displaystyle V(g)}$ проективного гильбертова пространства ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$. Более конкретно, если ${\displaystyle g}$ — это некоторая симметрия системы (скажем, вращение вокруг оси x на 12°), то соответствующее преобразование ${\displaystyle V(g)}$ проективного гильбертова пространства ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ является отображением на лучевом пространстве. Например, при вращении «стационарной» (обладающей нулевым импульсом) частицы со спином 5 вокруг ее центра ${\displaystyle g}$ — это вращение в трёхмерном пространстве (элемент ${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$), а ${\displaystyle V(g)}$ — оператор, область и диапазон которого являются пространством возможных квантовых состояний данной частицы. В этом примере проективное пространство ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ связано с 11-мерным комплексным гильбертовым пространством ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Каждое отображение ${\displaystyle V(g)}$ сохраняет, по определению симметрии, произведение лучей на ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$, индуцированное внутренним произведением на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$; согласно теореме Вигнера, это преобразование ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ происходит из унитарного или антиунитарного преобразования ${\displaystyle U(g)}$ гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Однако, ${\displaystyle U(g)}$, связанный с данным ${\displaystyle V(g)}$, не является уникальным, а лишь уникальным «с точностью до фазового коэффициента». Таким образом, состав операторов ${\displaystyle U(g)}$ должен отражать закон состава в ${\displaystyle G}$, но только с учетом фазового множителя:

${\displaystyle U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)}$,

где ${\displaystyle \theta }$ будет зависеть от ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$. Таким образом, отображение, отображающее ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle U(g)}$, является "проективным унитарным представлением" ${\displaystyle G}$ или, возможно, смесью унитарного и антиунитарного преобразований, если ${\displaystyle G}$ отсутствует. На практике антиунитарные операторы всегда связаны с симметрией обращения времени.

Важно, чтобы в целом ${\displaystyle U(\cdot )}$ не обязательно было обычным представлением ${\displaystyle G}$; невозможно выбрать фазовые множители в определении ${\displaystyle U(g)}$ так, чтобы исключить фазовые множители в законе их состояния. Электрон, например, является частицей со спином, равным одной второй; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ со значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие ${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$ на спинорное пространство является только проективным: оно не исходит из обычного представления ${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$. Существует, однако, связанное с этим обычное представление универсального покрытия ${\displaystyle \mathrm {SU(2)} }$ действия ${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$ на спинорном пространстве^[8].

Для многих классов групп ${\displaystyle G}$ теорема Баргмана утверждает, что каждое проективное унитарное представление ${\displaystyle G}$ исходит из обычного представления универсального покрытия ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ группы ${\displaystyle G}$. На самом деле, если ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ конечномерно, то независимо от группы ${\displaystyle G}$ каждое проективное унитарное представление ${\displaystyle G}$ исходит из обычного унитарного представления ${\displaystyle {\tilde {G}}}$^[9]. Если ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ бесконечномерно, то для получения желаемого результата необходимо сделать некоторые алгебраические предположения о ${\displaystyle G}$. При такой постановке вопроса результатом является теорема Баргмана^[10]. Теорема Баргмана применима в случае группы Пуанкаре^[11] (см. классификацию Вигнера представлений универсального покрытия группы Пуанкаре).

Требование, упомянутое выше, состоит в том, что алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ не допускает нетривиального одномерного центрального расширения. Это имеет место тогда и только тогда, когда вторая группа когомологий ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тривиальна. В этом случае верно то, что группа допускает центральное расширение «дискретной» группой. Но расширения ${\displaystyle G}$ дискретными группами являются покрытия ${\displaystyle G}$. Например, универсальное покрытие ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ связано с ${\displaystyle G}$ через частное ${\displaystyle G\approx {\tilde {G}}/\Gamma }$ с центральной подгруппой ${\displaystyle \Gamma }$, являющейся центром самого ${\displaystyle {\tilde {G}}}$, который изоморфен фундаментальной группе включаемой группы.

Таким образом, в благоприятных случаях математическое описание квантовой системы будет поддерживать унитарное представление универсального покрытия ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ группы симметрии ${\displaystyle G}$. Это хорошо тем, что с ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ гораздо проще работать, чем с невекторным пространством ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$. Если представления ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ могут быть классифицированы, о возможностях и свойствах ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ можно получить гораздо больше информации.

Примером, в котором теорема Баргмана неприменима, является квантовая частица, движущаяся в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Группа трансляционных симметрий ассоциированного фазового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ является коммутативной группой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. В обычной квантово-механической картине симметрия ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ не реализуется унитарным представлением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. В квантовом случае переходы в пространстве положений и в пространстве импульсов не коммутируют друг с другом. Эта неспособность коммутировать отражает неспособность операторов положения и импульса — которые являются бесконечно малыми генераторами перемещений в пространстве импульса и пространстве положения соответственно — коммутировать. Тем не менее, переводы в пространстве положений и переводы в пространстве импульсов «коммутируют» с точностью до фазового коэффициента. Таким образом, у нас есть четко определенное проективное представление ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, но оно не исходит из обычного представления ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, даже если ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ просто связано.

В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к группе Гейзенберга, которая является нетривиальным одномерным центральным расширением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

В качестве примера того, что означает приближенная симметрия, предположим, что экспериментатор находится внутри бесконечного ферромагнетика с намагниченностью в некотором определенном направлении. Экспериментатор в этой ситуации обнаружил бы не один, а два различных типа электронов: один со спином вдоль направления намагниченности, с немного меньшей энергией (и, следовательно, меньшей массой), и один со спином, направленным противоположно, с немного большей массой. Наша обычная вращательная симметрия SO(3), которая обычно связывает электрон со спином вверх и электрон со спином вниз, в этом гипотетическом случае стала только «приближенной» симметрией, связывающей «различные типы частиц» друг с другом.

Вообще говоря, приближенная симметрия возникает, когда существуют очень сильные взаимодействия, которые подчиняются этой симметрии (с более слабыми взаимодействиями этого не происходит). В приведенном выше примере с электронами два «типа» электронов ведут себя одинаково под действием сильных и слабых сил, но по-разному под действием электромагнитной силы.

Примером из реального мира является изоспиновая симметрия, чья группа SU(2), соответствует подобию между верхними и нижними кварками. Это приближенная симметрия: В то время как верхние и нижние кварки идентичны в том, как они взаимодействуют под действием сильного взаимодействия, они имеют разные массы и разные способности к электрослабым взаимодействиям. Математически существует абстрактное двумерное векторное пространство:

${\displaystyle {\text{верхний кварк}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{нижний кварк}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

и законы физики «приближенно» инвариантны при применении к этому пространству унитарного преобразования c детерминантом, равным 1^[13]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{где }}A{\text{ представляет собой }}SU(2)}$.

Например, ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ превратило бы все верхние кварки во вселенной в нижние кварки и наоборот. Некоторые примеры помогают прояснить возможные последствия этих преобразований:

• Когда эти унитарные преобразования применяются к протону, он может быть преобразован в нейтрон или в суперпозицию протона и нейтрона, но не в какие-либо другие частицы. Поэтому преобразования перемещают протон по двумерному пространству квантовых состояний. Протон и нейтрон называются "изоспиновым дублетом", математически аналогичным тому, как со спином 1/2 частица ведет себя при обычном вращении.
• Когда эти унитарные преобразования применяются к любому из трех пионов (π0
  , π+
  , и π−
  ), он может изменить любой из пионов в любой другой, но не в какую-либо непионную частицу. Поэтому преобразования перемещают пионы вокруг трехмерного пространства квантовых состояний. Пионы называются "изоспиновым триплетом", математически аналогичным тому, как ведет себя частица со спином 1 при обычном вращении.
• Эти преобразования вообще не влияют на электрон, потому что он не содержит ни верхних, ни нижних кварков. Электрон называется синглетом изоспина, математически аналогично тому, как частица со спином 0 ведет себя при обычном вращении.

В общем случае частицы образуют изоспиновые мультиплеты, которые соответствуют неприводимым представлениям алгебры Ли SU(2). Частицы в мультиплете изоспина имеют очень похожие, но не идентичные массы, потому что вверх и вниз кварки очень похожи, но не идентичны.

Изоспиновая симметрия может быть обобщена на ароматную симметрию, группу SU(3), соответствующую сходству между верхним кваркомs, нижним кваркомs и странным кваркомs.^[13] Это, опять же, приближенная симметрия, нарушенная разницей масс кварков и электрослабыми взаимодействиями — на самом деле, это худшее приближение, чем изоспин, из-за заметно большей массы странного кварка.

Тем не менее, частицы действительно могут быть разделены на группы, которые образуют неприводимые представления алгебры Ли SU(3), как впервые отметил Марри Гелл-Манн и независимо Юваль Неэман.