Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращение^[1], перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Навана в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г.^[2]

Проективное гильбертово пространство $\mathbb {P} H$ комплексного гильбертова пространства $H$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов $\Psi \in H$ , для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$ , заданного следующим образом:

\Psi \sim \Phi

тогда и только тогда, когда

\Psi =\lambda \Phi

для некоторого ненулевого комплексного числа

\lambda

.

Классы эквивалентности ${\underline {\Psi }}$ также называются лучами или проективными лучами^[3].

Предварительные сведения

Преобразование унитарно, если оно биективно и

\langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .

\langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .

Пусть есть унитарное преобразование $U:H\to K$ Гильбертовых пространств

Определим

{\begin{aligned}T_{U}:\mathbb {P} H&\to \mathbb {P} K\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }},\\\end{aligned}}

T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.

A

Утверждение теоремы

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное:

Если  $H$  и  $K$  Гильбертовы пространства, и  $T:\mathbb {P} H\to \mathbb {P} K$   — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование  $V:H\to K$ , которое индуцирует  $T$ .^[2]^[4]^[5]

Доказательство см.^[2]^[4]

В некоторых источниках^[6], теорема Вигнера относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если Гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

↑ Вигнер, 1961, с. 265—268.
↑ ¹ ² ³ Вигнер, 1961, с. 276—280.
↑ Weinberg, 2002, p. 49
↑ ¹ ² Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188
↑ Боголюбов, 1969, с. 104.
↑ Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.

[_f31902ababc745b1-1] Вигнер, 1961, с. 265—268.

[_ae7899f71b3d8bdb-2] ¹ ² ³ Вигнер, 1961, с. 276—280.

[3] Weinberg, 2002, p. 49

[Barg-4] ¹ ² Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188

[_b9f6dd5da3ae1b70-5] Боголюбов, 1969, с. 104.

[6] Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Теорема Вигнера

Пространство лучей

Формулировка

Предварительные сведения

Утверждение теоремы

Комментарии

Примечания

Литература

Категории