Уровень (логарифмическая величина)

Логарифмические величины — это величины, определяемые с помощью логарифмических функций. В зависимости от происхождения аргумента логарифма их подразделяют на^[1][2]

• логарифмированные отношения двух величин одного рода;

Такие величины преимущественно используются в электротехнике и акустике как величины, обозначаемые вспомогательной единицей бель или Децибел (реже — непер).

• логарифмические величины, аргумент которых изначально задан как число;

Такие величины преимущественно используются в теории информации и обозначаются вспомогательными единицами шеннон, хартли и нат.

• другие логарифмические величины. 

Эти логарифмические величины преимущественно применяются в электротехнике и акустике^[1]. Они образуются из отношения двух мощностных величин или двух корней мощности (ранее — полевых величин). В зависимости от того, является ли опорная величина в этом отношении фиксированной или переменной, различают логарифмические величины уровень и коэффициент.

• Например, при уровне звукового давления логарифмируется отношение звукового давления к звуковому давлению, определённому как порог слышимости.
• Например, при коэффициенте усиления логарифмируется отношение выходной величины к соответствующей входной величине.

Для обозначения уровней и коэффициентов, а также только для этого, при использовании десятичного логарифма указывают вспомогательную единицу бель или её десятую часть — децибел (обозначение дБ), при использовании натурального логарифма — непер (обозначение Нп)^[3].

Уровень (сигнальный уровень) — это логарифмическая величина, определяемая как логарифмированное отношение мощностной величины или корня мощности к заданному опорному значению, имеющему ту же размерность, что и сравниваемая величина. Для уточнения уровня указывают соответствующую величину. В качестве обозначения уровня обычно используется ${\displaystyle L}$ (от англ. level).

Пример:

${\displaystyle L=\lg {\frac {P}{P_{0}}}\;\mathrm {B} }$

— это уровень мощности или мощностный уровень относительно опорного значения ${\displaystyle P_{0}}$. В практическом применении уровни почти всегда выражаются в децибелах, а не в белах, из-за более удобных числовых значений. Для приведённого примера:

${\displaystyle L=10\cdot \lg {\frac {P}{P_{0}}}\;\mathrm {dB} }$.

Если взять разность двух уровней с одним и тем же опорным значением, то она не зависит от опорного значения. Для разности двух мощностных уровней:

${\displaystyle \Delta L=L_{2}-L_{1}=10\cdot \lg {\frac {P_{2}}{P_{0}}}\;\mathrm {dB} -10\cdot \lg {\frac {P_{1}}{P_{0}}}\;\mathrm {dB} =10\cdot \lg \left({\frac {P_{2}}{P_{0}}}\cdot {\frac {P_{0}}{P_{1}}}\right)\;\mathrm {dB} }$

${\displaystyle \Delta L=10\cdot \lg {\frac {P_{2}}{P_{1}}}\;\mathrm {dB} }$.

Хотя ${\displaystyle \Delta L}$ также выражается в децибелах, эта величина не является уровнем, а представляет собой коэффициент, поскольку в знаменателе логарифмируемого отношения стоит не фиксированное опорное значение^[3][1]. Иногда для ${\displaystyle \Delta L}$ используется устаревшее и вводящее в заблуждение название «относительный уровень».

Корни мощности, или полевые величины, такие как электрическое напряжение или звуковое давление, описывают физические поля. Квадрат действующего значения такой полевой величины в линейной системе пропорционален её энергетическому состоянию, которое определяется через мощностную величину. В этом контексте величины, связанные с энергией, также называют мощностными^[3]. Не вдаваясь в детали, отсюда следует, что отношение двух мощностных величин равно отношению квадратов соответствующих действующих значений полевых величин. Для прямого вычисления уровней по отношениям действующих значений полевых величин появляется дополнительный множитель 2, например, при вычислении уровня напряжения ${\displaystyle L_{U}}$ по действующему значению электрического напряжения ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle L_{U}=10\cdot \lg {\frac {U_{1}^{2}}{U_{0}^{2}}}\;\mathrm {dB} =20\cdot \lg {\frac {U_{1}}{U_{0}}}\;\mathrm {dB} }$.

Для уровня напряжения 10 децибел напряжение ${\displaystyle U_{1}}$ должно быть в ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ раз (примерно в 3,16 раза) больше опорного значения ${\displaystyle U_{0}}$.

В физике амплитуды сигналов часто изменяются на несколько порядков величины: например, от мегавольт до нановольт для полевых величин и от мегаватт до пиковатт для мощностных величин. Благодаря логарифмированию эти величины удобно выражать в виде двух- или трёхзначных чисел.

Характеристики усилителей, фильтров и других электронных элементов, а также спектры в акустике проще и нагляднее представлять с помощью уровней, поскольку логарифмическое отображение позволяет охватить широкий динамический диапазон.

Поскольку для уровней применимы правила вычисления логарифмов, например, умножение физических величин переходит в сложение уровней. Выходной уровень каскадно соединённых усилителей или элементов ослабления (например, кабелей или разъёмов) можно получить простым сложением входного уровня с отдельными логарифмическими значениями усиления или ослабления.

Для мощностных величин (энергия, интенсивность, мощность) справедливо: так как lg 10 = 1 и lg 2 ≈ 0,3, то можно запомнить простое правило:

+10 дБ означает увеличение в 10 раз, +3 дБ — в 2 раза, −10 дБ — уменьшение в 10 раз, −3 дБ — в 2 раза.

Остальные значения можно оценить, например, +16 дБ = (+10+3+3) дБ, то есть исходное значение · 10 · 2 · 2; +16 дБ соответствует увеличению в 40 раз.

Или +17 дБ = (+10+10−3) дБ, что соответствует множителю 10 · 10 : 2 = 50.

Для полевых величин (например, линейных акустических величин, напряжения и тока) действует правило:

+20 дБ — увеличение в 10 раз, +6 дБ — в 2 раза, −20 дБ — уменьшение в 10 раз, −6 дБ — в 2 раза.

Остальные значения можно оценить аналогично; например, для ослабления −26 дБ относительно 1 В: −20 дБ соответствует уменьшению до одной десятой; это 0,1 В = 100 мВ; ещё −6 дБ (половина) от 100 мВ — это 50 мВ.

Уровни широко используются, особенно в акустике. Применения встречаются также в высокочастотной технике как части техники связи, звукотехнике и автоматизации.

При указании уровней слышимого звука обычно применяют фильтры для частотной коррекции. Эти фильтры позволяют получить результат измерения, лучше соответствующий субъективному восприятию громкости, чем некорректированное значение. Согласно стандартам ISO, частотная коррекция указывается индексом у обозначения уровня. Однако часто используются следующие обозначения для указания типа фильтра:

• dB_A, dB(A), «dBA»
• dB_B, dB(B), «dBB»
• dB_C, dB(C), «dBC»

Коэффициентом называют логарифмированное отношение двух мощностных величин или корней мощности, используемое для описания свойств системы, рассматриваемой как двухпорт, например, усилителя. Обычно слово «-коэффициент» используется как суффикс сложного слова, уточняющего вид величины.

Примеры таких логарифмических коэффициентов:

• для мощностных величин: Коэффициент звукоизоляции ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=10\lg {\frac {I_{0}}{I}}\;\mathrm {dB} }$

(пропущенная интенсивность звука ${\displaystyle I}$, падающая интенсивность ${\displaystyle I_{0}}$),

• для корней мощности: коэффициент затухания по напряжению ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=20\;\lg \left|{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|\;\mathrm {dB} =\ln \left|{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|\;\mathrm {Np} }$

(входное напряжение ${\displaystyle U_{1}}$, выходное напряжение ${\displaystyle U_{2}}$).

Преимущества и правила вычислений для уровней справедливы и для коэффициентов.

Логарифмические величины, аргумент которых изначально задан как число, преимущественно используются в теории информации. Для их обозначения, в зависимости от основания логарифма, применяются вспомогательные единицы шеннон, хартли и нат.

Одной из логарифмических величин теории информации является информационный объём. Ещё одна логарифмическая величина — ёмкость памяти. Если ${\displaystyle n}$ — число возможных состояний памяти, то двоичная ёмкость^[4]

${\displaystyle M_{\mathrm {e} }=\operatorname {lb} n{\text{ бит}}}$

Помимо двух указанных выше групп, определены и другие логарифмические величины, например:

• экстинкция
• pH

Эти величины являются безразмерными величинами, для которых не установлены единицы измерения.

• Интервал частот или логарифмический диапазон частот ${\displaystyle G=\operatorname {lb} {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}{\text{ октава}}=\lg {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}{\text{ декада}}}$^[1][5]

между частотами ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}\geq f_{1}}$ с единицами измерения:

• октава   (${\displaystyle G=1{\text{ октава}}=\operatorname {lb} 2{\text{ октава}}}$, если ${\displaystyle {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}=2}$)
• декада (${\displaystyle G=1{\text{ декада}}=\lg 10{\text{ декада}}}$, если ${\displaystyle {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}=10}$).

В акустике принято считать ${\displaystyle 1{\text{ октава}}=1}$. Тогда ${\displaystyle 1{\text{ декада}}=\operatorname {lb} 10{\text{ октава}}=3{,}322}$.