Угловое смещение

В примере, приведённом в начале статьи, частица P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат O и вращается против часовой стрелки. Если представить положение частицы P в полярных координатах (r, θ), то в данном случае значение θ изменяется, в то время как радиус остаётся постоянным (следует отметить, что при выражении её положения в декартовых координатах (x, y) как x, так и y изменяются со временем). По мере движения частицы по окружности она проходит дугу длиной s, которая связана с угловым положением следующим соотношением:

${\displaystyle s=r\theta \,}$

Угловое смещение обычно измеряется в радианах или градусах. Использование радианов даёт очень простую связь между длиной дуги окружности и расстоянием r от центра вращения:

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$

Например, если тело совершает полный оборот (360°) по окружности радиуса r, угловое смещение определяется как длина окружности, то есть 2πr, делённая на радиус: ${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}$, что легко упрощается до: ${\displaystyle \theta =2\pi }$. Таким образом, 1 оборот соответствует ${\displaystyle 2\pi }$ радианам.

Когда частица перемещается из точки P в точку Q за промежуток времени ${\displaystyle \delta t}$, как показано на иллюстрации справа, радиус окружности проходит изменение угла ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}}$, что и есть её угловое смещение.

В трёх измерениях угловое смещение — это величина, обладающая направлением и модулем. Направление указывает ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении; модуль определяет величину поворота, выраженную в радианах вокруг этой оси (используется правило правой руки для определения направления). Такое представление называется осевой-угловой нотацией угла поворота.

Несмотря на наличие направления и модуля, угловое смещение не является вектором в строгом смысле, поскольку не подчиняется коммутативному закону сложения^[1]. Однако для бесконечно малых вращений можно пренебречь величинами второго порядка, и в этом случае коммутативность появляется.

Существует несколько способов описания углового смещения, например, с помощью матриц вращения или углов Эйлера. См. также карты на SO(3) для других альтернативных обозначений.

Поскольку любую систему отсчёта в пространстве можно описать с помощью матрицы вращения, смещение между ними также можно выразить через матрицу вращения. Пусть ${\displaystyle A_{0}}$ и ${\displaystyle A_{f}}$ — две матрицы, тогда матрица углового смещения между ними вычисляется как ${\displaystyle \Delta A=A_{f}.A_{0}^{-1}}$. Если это произведение вычисляется для очень малого различия между системами отсчёта, получается матрица, близкая к единичной.

В пределе получается бесконечно малая матрица вращения.

Бесконечно малое угловое смещение связано с бесконечно малой матрицей вращения:

• Как и любая матрица вращения, она имеет единственное вещественное собственное значение, равное +1. Это собственное значение указывает ось вращения.
• Её модуль можно определить по величине бесконечно малого поворота.
• Вид матрицы следующий:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$

Тензор бесконечно малого углового смещения или генератор вращения имеет вид:

${\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

таким образом, соответствующая матрица вращения равна ${\displaystyle A=I+d\Phi (t)}$. При делении на время получается вектор угловой скорости.

Пусть задана ось вращения в виде единичного вектора [x, y, z], и имеется бесконечно малое вращение на угол Δθ относительно этого вектора. Разложив матрицу вращения в бесконечную сумму и взяв первый порядок, матрица вращения ΔR записывается как:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность малых вращений вокруг той же оси. Приближая Δθ как θ/N, где N — большое число, вращение на угол θ вокруг оси можно записать как:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Таким образом, теорема Эйлера по существу утверждает, что любое вращение может быть представлено в такой форме. Произведение ${\displaystyle \mathbf {A} \theta }$ — это "генератор" данного вращения, где (x, y, z) — вектор, связанный с матрицей A. Это показывает, что матрица вращения и осевая-угловая нотация связаны экспоненциальной функцией.

Можно вывести простое выражение для генератора G. Начинают с произвольной плоскости^[2], определённой парой взаимно перпендикулярных единичных векторов a и b. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x, перпендикулярный y. Затем выражают y через x и, подставляя в выражение вращения в плоскости, получают матрицу вращения R, включающую генератор G = ba^T - ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}}$

Чтобы включить в вращение векторы вне плоскости, необходимо модифицировать предыдущее выражение для R, добавив два оператора проекции, которые разбивают пространство. Эта модифицированная матрица вращения может быть переписана как матричная экспонента:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

Анализ часто проще вести в терминах этих генераторов, а не полной матрицы вращения. Этот подход известен как алгебра Ли группы вращения.

Матрицы в алгебре Ли сами по себе не являются вращениями. Кососимметричные матрицы — это производные, пропорциональные разности вращений. Истинная "дифференциальная" или бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+A\,d\theta ~,}$

где dθ — бесконечно малая величина, а A ∈ so(n), например, при A = L_x:

${\displaystyle dL_{x}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{smallmatrix}}\right]}$.

Правила вычислений обычные, за исключением того, что члены второго порядка по бесконечно малым систематически отбрасываются. При таких правилах эти матрицы не удовлетворяют тем же свойствам, что и обычные матрицы конечных вращений при стандартном рассмотрении бесконечно малых. Оказывается, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения. Для примера см. статью о группе вращения SO(3).

Связь алгебры Ли с группой Ли — это экспоненциальное отображение, определяемое с помощью стандартного ряда экспоненты матрицы для e^A. Для любой кососимметричной матрицы A, exp(A) всегда является матрицей вращения^{[nb 1]}.

Важный практический пример — случай 3 × 3. В группе вращения SO(3) можно показать, что каждому A ∈ so(3) соответствует вектор Эйлера ω = θ u, где u = (x,y,z) — единичный вектор.

По свойствам соответствия su(2) ≅ ℝ³, u лежит в ядре A. Следовательно, u инвариантен относительно exp(A) и, значит, является осью вращения.

Используя формулу Родрига в матричной форме, с θ = ^θ⁄₂ + ^θ⁄₂, и вместе с формулами двойного угла, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

где c = cos ^θ⁄₂ s = sin ^θ⁄₂

Это матрица для вращения вокруг оси u на угол θ в форме половинного угла. Для подробностей см. статью о экспоненциальном отображении SO(3).

Следует отметить, что для бесконечно малых углов члены второго порядка можно отбросить и положить exp(A) = I + A.