Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

${\displaystyle y'=f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Рассмотрим график, на котором отметим точку ${\displaystyle x_{0}}$, а также точку ${\displaystyle (x_{0}+\Delta x)}$, где ${\displaystyle \Delta x}$ — расстояние между двумя выбранными точками. Каждому ${\displaystyle x}$ соответствует собственное значение функции ${\displaystyle y}$.

Разница значений функции в точках ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle (x_{0}+\Delta x)}$ называется приращением данной функции: ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$.

Проведём через эти две точки секущую. Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается ${\displaystyle \alpha }$. Из получившегося треугольника легко заметить, что тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента. Можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.