Секущая прямая

Прямая, пересекающая две другие прямые, называется секущей (или трансверсалью). Если две прямые пересечены третьей прямой (секущей), то образуются восемь углов. Они попарно имеют специальные названия: соответственные (${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \beta _{1}}$, ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \gamma _{1}}$, ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \delta _{1}}$) и накрест лежащие (${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \gamma _{1}}$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \delta _{1}}$, ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \beta _{1}}$). Также выделяют односторонние углы (${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta _{1}}$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \delta _{1}}$, ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \gamma _{1}}$). По свойствам этих углов можно установить, параллельны ли исходные прямые.

В евклидовой геометрии справедливы следующие признаки параллельности прямых (они являются следствиями аксиом геометрии, в том числе пятого постулата):

• если сумма односторонних углов равна 180°;
• если соответственные углы равны;
• если накрест лежащие углы равны,

то прямые параллельны. Любой из этих признаков является необходимым и достаточным условием параллельности.

Восемь углов, образованных двумя прямыми и секущей (трансверсалью). (Вертикальные углы такие, как ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \gamma ,}$ всегда равны.)		Секущая между непараллельными прямыми. Внутренние односторонние углы не являются дополнительными (в сумме дающими 180 градусов).	Секущая между параллельными прямыми. Внутренние односторонние углы являются дополнительными (в сумме дающими 180 градусов).

• Путём приближения из секущей можно получить касательную в некоторой точке P. Если секущая определяется двумя точками пересечения с данной кривой, P и Q, где положение точки P фиксировано, а положение точки Q может изменяться, то по мере того, как точка Q приближается к точке P вдоль кривой, направление секущей приближается к направлению касательной в точке P (если кривая является гладкой в точке P). Можно сказать, что по мере того, как точка Q приближается к P, наклон (или направление) секущей, в пределе, приближается к наклону касательной. Эта идея является основой для геометрического определения производной^[2].

Для окружности секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух точках. Отрезок секущей, заключённый внутри окружности, называется хордой. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. В случае окружности (или другой гладкой кривой второго порядка) касательные можно также определить как прямые, имеющие с данной кривой ровно одну общую точку.

• Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой^[2]. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости.

⚠️ Подсказка для ОГЭ и ЕГЭ по теме «Секущая»

Углы, образованные секущей с двумя прямыми

Название углов	Определение	Свойство (при параллельных прямых)
Соответственные	∠α и ∠α₁, ∠β и ∠β₁ (находятся по одну сторону от секущей)	равны
Накрест лежащие	∠α и ∠γ₁, ∠β и ∠δ₁ (лежат между прямыми по разные стороны от секущей)	равны
Односторонние	∠α и ∠β₁, ∠γ и ∠δ₁ (лежат между прямыми по одну сторону от секущей)	в сумме 180°

---

📌 Признаки параллельности прямых (ОГЭ/ЕГЭ): 1. Если соответственные углы равны → прямые параллельны. 2. Если накрест лежащие углы равны → прямые параллельны. 3. Если сумма односторонних углов равна 180° → прямые параллельны.

📌 Связь с окружностью:

• Секущая пересекает окружность в двух точках.
• Отрезок секущей внутри окружности — хорда.
• При приближении второй точки пересечения к первой секущая стремится к касательной.

✅ Типичные ошибки на ОГЭ/ЕГЭ:

• Путают названия углов (соответственные и накрест лежащие).
• Неправильно определяют, какие углы равны, а какие в сумме дают 180°.
• Забывают, что признаки параллельности работают в обе стороны (необходимость и достаточность).