Точка Штейнера

• Точка Штейнера лежит на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$^[1].
• Эллипс Штейнера (описанный эллипс Штейнера) — это эллипс наименьшей площади, проходящий через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$. Точка Штейнера лежит на этом эллипсе^[1]. Эллипс Штейнера имеет центр в центроиде треугольника ${\displaystyle ABC}$ и является четвёртой точкой пересечения описанной окружности и эллипса Штейнера (помимо вершин ${\displaystyle A,B,C}$)^[4].

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ параллельна прямой ${\displaystyle OK}$ (линии, соединяющей центр описанной окружности ${\displaystyle O}$ и точку Лемуана ${\displaystyle K}$)^[1]. Эта прямая ${\displaystyle OK}$ также называется диаметром Брокара.

• Точка Штейнера является изогонально сопряжённой к точке пересечения касательных к описанной окружности в вершинах треугольника^[1].

Следует различать точку Штейнера и центроид кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid), который обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника^[5].

Центроид кривизны Штейнера — это центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника массы, равной величине внешнего угла при этой вершине^[6]. Он имеет трилинейные координаты:

${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right),}$

где ${\displaystyle A,B,C}$ — углы треугольника, а ${\displaystyle a,b,c}$ — длины противоположных сторон.

Точка Тарри (Tarry point) треугольника тесно связана с точкой Штейнера. Точка Тарри определяется как точка на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$, диаметрально противоположная точке Штейнера^[1].

Точка Тарри обозначается как X(98) в энциклопедии центров треугольника. Её Трилинейные координаты равны^[1]:

${\displaystyle (\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )),}$

где ${\displaystyle \omega }$ — угол Брокара треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Построение точки Тарри:

• прямая, проходящая через ${\displaystyle A}$ перпендикулярно к ${\displaystyle B'C'}$;
• прямая, проходящая через ${\displaystyle B}$ перпендикулярно к ${\displaystyle C'A'}$;
• прямая, проходящая через ${\displaystyle C}$ перпендикулярно к ${\displaystyle A'B'}$.

Эти три прямые пересекаются в точке Тарри (сравните с построением точки Штейнера, где прямые проводятся параллельно, а не перпендикулярно).

Прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой ${\displaystyle OK}$ (в отличие от прямой Симсона точки Штейнера, которая параллельна ${\displaystyle OK}$)^[7].

Эллипс Штейнера (Steiner circumellipse) — единственный эллипс с центром в центроиде треугольника, проходящий через все три вершины треугольника^[4]. Свойства эллипса Штейнера:

• это эллипс наименьшей площади, описанный около треугольника;
• проходит через вершины ${\displaystyle A,B,C}$ и точку Штейнера;
• уравнение в барицентрических координатах: ${\displaystyle yz+zx+xy=0}$.

Точка Штейнера связана с углом Брокара ${\displaystyle \omega }$ треугольника. Трилинейные координаты точки Штейнера можно выразить через угол Брокара и углы треугольника. Угол Брокара ${\displaystyle \omega }$ определяется из соотношения:

${\displaystyle \operatorname {ctg} \omega =\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} B+\operatorname {ctg} C.}$

Задача. Дан треугольник ${\displaystyle ABC}$ с координатами вершин. Найти точку Штейнера (рисунок 1).

Решение. Точку Штейнера можно найти аналитически, используя барицентрические координаты. Если вершины треугольника заданы в декартовых координатах, то достаточно:

1. Вычислить длины сторон ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=CA}$, ${\displaystyle c=AB}$.
2. Записать барицентрические координаты точки Штейнера: ${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}\right)}$.
3. Перевести барицентрические координаты в декартовы по формуле: ${\displaystyle P={\frac {\lambda _{1}\cdot A+\lambda _{2}\cdot B+\lambda _{3}\cdot C}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$, где ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ — барицентрические координаты.

Замечание. Если треугольник является равносторонним, то ${\displaystyle a=b=c}$ и барицентрические координаты точки Штейнера не определены. Действительно, для равностороннего треугольника точка Штейнера уходит на бесконечность — это связано с тем, что эллипс Штейнера вырождается в окружность и совпадает с описанной окружностью^[8].

Стандартное построение точки Штейнера выполняется следующим образом (рисунок 2):

1. Найти центр описанной окружности ${\displaystyle O}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ (как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам).
2. Найти точку Лемуана ${\displaystyle K}$ (как точку пересечения симедиан).
3. Построить окружность Брокара — окружность с диаметром ${\displaystyle OK}$.
4. Из точки ${\displaystyle O}$ опустить перпендикуляры к каждой стороне треугольника; отметить вторые точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью Брокара: ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$.
5. Через вершину ${\displaystyle A}$ провести прямую, параллельную ${\displaystyle B'C'}$; через ${\displaystyle B}$ — параллельную ${\displaystyle C'A'}$; через ${\displaystyle C}$ — параллельную ${\displaystyle A'B'}$.
6. Точка пересечения этих трёх прямых есть точка Штейнера.

Точка Штейнера возникает в задаче об определении эллипса наименьшей площади, описанного около данного треугольника. Поскольку через пять точек (в общем положении) проходит единственная коника, а эллипс Штейнера проходит через три вершины треугольника и имеет центр в центроиде, он определяется однозначно. Точка Штейнера служит четвёртой точкой пересечения этого эллипса с описанной окружностью треугольника, что позволяет использовать её для проверки правильности построения эллипса Штейнера (рисунок 3)^[4].

Важным практическим применением точки Штейнера является следующее свойство её прямой Симсона. Напомним, что прямая Симсона точки ${\displaystyle P}$ на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ — это прямая, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из ${\displaystyle P}$ на стороны (или их продолжения) треугольника (рисунок 4).

Свойство. Прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара ${\displaystyle OK}$.

Это свойство применяется в следующей задаче.

Задача. Дан треугольник ${\displaystyle ABC}$ и его описанная окружность. Найти на описанной окружности точку ${\displaystyle P}$ такую, что её прямая Симсона параллельна отрезку ${\displaystyle OK}$.

Решение. Такой точкой является точка Штейнера. Для её нахождения достаточно выполнить построение, описанное в предыдущем разделе. В этом состоит одна из характеристических геометрических задач, приводящих к точке Штейнера^[1].

Аналогично, если требуется найти точку на описанной окружности, прямая Симсона которой перпендикулярна ${\displaystyle OK}$, — такой точкой будет Точка Тарри.

Точка Штейнера является изогонально сопряжённой к точке ${\displaystyle M}$ — точке пересечения касательных к описанной окружности треугольника в вершинах ${\displaystyle A,B,C}$ (так называемой точке симмедиального треугольника, или точке X(6) в системе Кимберлинга относительно исходного треугольника; более точно, ${\displaystyle M}$ есть полюс прямой ${\displaystyle BC}$ относительно описанной окружности — так называемый треугольник касательных).

Это свойство используется в следующей задаче (рисунок 5).

Задача. Найти геометрическое место точек, изогонально сопряжённых точкам прямой, проходящей через точку Лемуана.

Поскольку изогональное сопряжение переводит прямые в конические сечения (как правило, в гиперболы или эллипсы), и точка Штейнера является изогонально сопряжённой конкретно определённой точки, данная задача иллюстрирует роль точки Штейнера в теории изогональных преобразований треугольника.

Эллипс Штейнера применяется в задачах аффинной геометрии. Поскольку любой треугольник аффинно эквивалентен правильному треугольнику, а описанный эллипс наименьшей площади для правильного треугольника является описанной окружностью, задача нахождения эллипса Штейнера для произвольного треугольника сводится к аффинному преобразованию (рисунки 6-7).

Задача. Дан треугольник ${\displaystyle ABC}$. Найти центр и оси эллипса наименьшей площади, описанного около треугольника.

Решение.

1. Центр эллипса Штейнера совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника ${\displaystyle ABC}$.
2. Точка Штейнера является четвёртой точкой пересечения этого эллипса с описанной окружностью треугольника. Зная центроид и точку Штейнера (а также вершины ${\displaystyle A,B,C}$), можно однозначно восстановить эллипс как коническое сечение, проходящее через пять точек ${\displaystyle A,B,C}$ и имеющее центр в центроиде.
3. Направления осей эллипса определяются из условия минимальности площади и могут быть вычислены через собственные векторы матрицы квадратичной формы, задающей эллипс^[4].

Штейнер первоначально определил эту точку в 1826 году другим способом. Точка Штейнера — это четвёртая точка пересечения описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ и эллипса Штейнера (три другие точки пересечения — это вершины ${\displaystyle A,B,C}$)^[1].

Существует понятие анти-точки Штейнера (anti-Steiner point). Если прямая ${\displaystyle l}$ проходит через ортоцентр ${\displaystyle H}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, то прямые, симметричные ${\displaystyle l}$ относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке на описанной окружности, которая называется анти-точкой Штейнера прямой ${\displaystyle l}$^[9].

Не следует путать точку Штейнера треугольника с точкой Штейнера в задаче о минимальной сети (задача Штейнера о минимальном дереве). В этой задаче точка Штейнера (также называемая точкой Ферма-Торричелли) — это точка, минимизирующая сумму расстояний до вершин треугольника^[10].