Точка Штейнера

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году^[1][2].

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.^[1])

Пусть дан любой треугольник ${\displaystyle ABC}$. Пусть ${\displaystyle O}$ — его центр описанной окружности и ${\displaystyle K}$ — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на ${\displaystyle OK}$ как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle BC}$, пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle A'}$. Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle CA}$, пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle B'}$. Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle AB}$, пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle C'}$ (треугольник ${\displaystyle A'B'C'}$ есть треугольник Брокара для треугольника ${\displaystyle ABC}$). Пусть ${\displaystyle L_{A}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle A}$ параллельно прямой ${\displaystyle B'C'}$, ${\displaystyle L_{B}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle B}$ параллельно прямой ${\displaystyle C'A'}$, и ${\displaystyle L_{C}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle C}$ параллельно прямой ${\displaystyle A'B'}$. Тогда все три прямых ${\displaystyle L_{A}}$, ${\displaystyle L_{B}}$ и ${\displaystyle L_{C}}$ пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

${\displaystyle \left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatorname {cosec} (B-C):c^{2}a^{2}\operatorname {cosec} (C-A):a^{2}b^{2}\operatorname {cosec} (A-B))}$.

• Описанный вокруг треугольника ${\displaystyle ABC}$ эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$. Точка Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежит на описанном вокруг треугольника ${\displaystyle ABC}$ эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.^[3]
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника ${\displaystyle ABC}$ массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника ${\displaystyle ABC}$ и имеет трилинейные координаты^[4]:

${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)}$.

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ параллельна прямой ${\displaystyle OK}$, где ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности и ${\displaystyle K}$ — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть ${\displaystyle ABC}$ — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$, диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника ${\displaystyle ABC}$. Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

${\displaystyle (\operatorname {sec} (A+\omega ):\operatorname {sec} (B+\omega ):\operatorname {sec} (C+\omega ))}$,

где ${\displaystyle \omega }$ является углом Брокара треугольника ${\displaystyle ABC}$.