Точечный

Бинарная операция o: Y × Y → Y на множестве Y может быть поднята точечно до операции O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y) на множестве X → Y всех функций из X в Y следующим образом: пусть заданы две функции f₁: X → Y и f₂: X → Y, определим функцию O(f₁, f₂): X → Y по правилу

Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o, а также для операций другой арности.

Точечная сумма ${\displaystyle f+g}$ двух функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ с одной и той же областью определения и кодоменом задаётся формулой:

Точечное произведение или точечная мультипликация:

Точечное умножение на скаляр обычно записывается с коэффициентом слева. Таким образом, если ${\displaystyle \lambda }$ — скаляр:

Примером операции над функциями, которая не является точечной, служит свёртка.

Точечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность от соответствующих операций на кодомене. Если ${\displaystyle A}$ — некоторая алгебраическая структура, то множество всех функций из ${\displaystyle X}$ в носитель ${\displaystyle A}$ можно аналогично наделить алгебраической структурой того же типа.

Покомпонентные операции обычно определяются на векторах, где векторы — элементы множества ${\displaystyle K^{n}}$ для некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$ и некоторого поля ${\displaystyle K}$. Если обозначить ${\displaystyle i}$-ю компоненту любого вектора ${\displaystyle v}$ как ${\displaystyle v_{i}}$, то покомпонентное сложение имеет вид ${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$.

Покомпонентные операции могут быть определены и на матрицах. Сложение матриц, где ${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$, является покомпонентной операцией, тогда как умножение матриц — нет.

Кортеж можно рассматривать как функцию, а вектор — это кортеж. Следовательно, любой вектор ${\displaystyle v}$ соответствует функции ${\displaystyle f:n\to K}$ такой, что ${\displaystyle f(i)=v_{i}}$, и любая покомпонентная операция над векторами есть точечная операция над соответствующими функциями.

В теории порядка часто определяют точечный частичный порядок на функциях. Пусть A, B — частично упорядоченные множества, тогда множество функций A → B можно упорядочить, задав: f ≤ g если (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x). Точечные порядки также наследуют некоторые свойства исходных частично упорядоченных множеств. Например, если A и B — непрерывные решётки, то и множество функций A → B с точечным порядком также будет непрерывной решёткой^[1]. Используя точечный порядок на функциях, можно кратко определить и другие важные понятия, например:^[2]

• Оператор замыкания c на частично упорядоченном множестве P — это монотонное и идемпотентное отображение P в себя (то есть оператор проекции) с дополнительным свойством id_A ≤ c, где id — тождественная функция.
• Аналогично, оператор проекции k называется оператором ядра тогда и только тогда, когда k ≤ id_A.

Примером инфинитарного точечного отношения служит точечная сходимость функций — последовательность функций

$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$

$${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$