Тепловая машина Карно

На соседней диаграмме из работы Карно 1824 года «Размышления о движущей силе огня»^[3] изображены «два тела A и B, каждое из которых поддерживается при постоянной температуре, причем температура A выше, чем у B. Мы можем отдавать тепло этим телам или забирать тепло без изменения их температуры. Эти тела выполняют функции двух неограниченных резервуаров теплорода. Первое мы назовем печью, а второе — холодильником»^[4]. Затем Карно объясняет, как мы можем получить движущую силу, то есть «работу», перенося определённое количество тепла от тела A к телу B. Подобная машина, приводимая в движение внешней силой, также может действовать как холодильник, совершая цикл в обратном направлении.

На предыдущем изображении показана оригинальная диаграмма в виде поршня и цилиндра, которую Карно использовал при обсуждении своих идеальных двигателей. На рисунке справа показана блок-схема типового теплового двигателя, такого как двигатель Карно. На схеме «рабочее тело» (система), термин, введенный Клаузиусом в 1850 году, может быть любым твердым, жидким или газообразным веществом, через которое тепло Q может вводиться или передаваться для производства работы. Карно постулировал, что рабочим телом может быть любое вещество, способное к расширению, например пары воды, пары спирта, пары ртути, постоянный газ или воздух и так далее. Хотя в те ранние годы двигатели выпускались в различных конфигурациях, обычно теплотаQ_H подводилась с помощью котла, в котором вода кипятилась над топкой; теплотаQ_C отнималась потоком холодной проточной воды в виде конденсатора, который являлся отдельной частью двигателя. Выходная работа W представляет движение поршня, когда он используется для поворота кривошипа, который, в свою очередь, обычно использовался для приведения в действие насоса, использовавшегося для откачки воды из затопленных соляных шахт. Карно определял работу как «поднятие тяжестей на высоту».

Цикл Карно при работе в качестве теплового двигателя состоит из следующих этапов:

1. Обратимое изотермическое расширение газа при «горячей» температуре T_H (изотермическое добавление или поглощение тепла). На этом этапе (от A до B) газ расширяется, и он воздействует на окружающую среду. Температура газа не изменяется во время процесса, и поэтому расширение является изотермическим. Расширение газа происходит за счёт поглощения тепловой энергии Q_H и энтропии. ${\displaystyle \Delta S_{\text{H}}=Q_{\text{H}}/T_{\text{H}}}$ из высокотемпературного резервуара.
2. Изоэнтропическое (обратимое адиабатическое) расширение газа (изоэнтропическая работа на выходе). Для этого этапа (от B до C) предполагается, что поршень и цилиндр имеют теплоизоляцию, поэтому они не получают и не теряют тепло. Газ продолжает расширяться, воздействуя на окружающую среду и теряя эквивалентное количество внутренней энергии. Расширение газа вызывает его охлаждение до «холодной» температуры T_C. Энтропия остается неизменной.
3. Обратимое изотермическое сжатие газа при «холодной» температуре, Т_С. (отвод изотермического тепла) (от C до D) Теперь газ подвергается воздействию холодного температурного резервуара, в то время как окружающая среда воздействует на газ, сжимая его (например, посредством обратного сжатия поршня), вызывая при этом некоторое количество тепловой энергии Q_C и энтропии ${\displaystyle \Delta S_{\text{C}}=Q_{\text{C}}/T_{\text{C}}}$ перетечь из газа в низкотемпературный резервуар. (Это то же количество энтропии, которое было поглощено на шаге 1.) Эта работа меньше, чем работа, выполняемая с окружающей средой на этапе 1, потому что она происходит при более низком давлении, учитывая отвод тепла в холодный резервуар, когда происходит сжатие (то есть сопротивление сжатию ниже на этапе 3, чем сила расширения на шаге 1).
4. Изоэнтропическое сжатие газа. (D — A) И снова предполагается, что поршень и цилиндр теплоизолированы, а резервуар для холодной температуры удален. Во время этого шага окружающая среда продолжает работу по дальнейшему сжатию газа, при этом температура и давление повышаются теперь, когда радиатор был удален. Эта дополнительная работа увеличивает внутреннюю энергию газа, сжимая его и вызывая повышение температуры до T_H. Энтропия остается неизменной. В этот момент газ находится в том же состоянии, что и в начале шага 1.

Теорема Карно является формальным утверждением этого факта: КПД любого теплового двигателя работающего по циклу Карно между двумя тепловыми резервуарами, независимо от устройства двигателя, является функцией только температур холодного и горячего резервуаров и всегда больше КПД любого другого теплового двигателя работающего по иному циклу между теми же резервуарами.

${\displaystyle \eta _{I}={\frac {W}{Q_{\mathrm {H} }}}=1-{\frac {T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}}}$

Объяснение Эта максимальная эффективность ${\displaystyle \eta _{\text{I}}}$ определяется, как указано выше:

W — работа, совершаемая системой,

${\displaystyle Q_{\text{H}}}$ тепло, поступающее в систему,

${\displaystyle T_{\text{C}}}$ — абсолютная температура холодного резервуара, а

${\displaystyle T_{\text{H}}}$ — абсолютная температура горячего резервуара.

Следствие теоремы Карно гласит, что: все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны.

Эффективность η максимальна, когда весь циклический процесс является обратимым. Это означает, что полная энтропия полной системы (энтропии горячей печи, «рабочего тела» теплового двигателя и холодного стока) остается постоянной, когда «рабочее тело» завершает один цикл и возвращается в исходное состояние. (В общем случае полная энтропия этой комбинированной системы увеличилась бы в общем необратимом процессе).

Поскольку «рабочая жидкость» возвращается в то же состояние после одного цикла, а энтропия системы является функцией состояния; изменение энтропии системы «рабочей жидкости» равно 0. Таким образом, это означает, что полное изменение энтропии печи и стока равно нулю, чтобы процесс был обратимым, а КПД двигателя был максимальным. Этот вывод проводится в следующем разделе.

Коэффициент полезного действия (COP) теплового двигателя обратно пропорционален его КПД.

Для настоящего теплового двигателя полный термодинамический процесс обычно необратим. Рабочая жидкость возвращается в исходное состояние после каждого цикла, и, таким образом, изменение энтропии жидкостной системы равно 0, но сумма изменений энтропии в горячем и холодном резервуаре в этом циклическом процессе больше 0.

Внутренняя энергия жидкости — это функция состояния, поэтому её полное изменение за один цикл равно 0. Таким образом, общая работа, выполняемая системой W, равна теплу, подводимому к системе. ${\displaystyle Q_{\text{H}}}$ минус отводимое тепло ${\displaystyle Q_{\text{C}}}$.

${\displaystyle W=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}}$

Для реальных двигателей — пути 1 и 3 цикла Карно; в котором тепло поглощается «рабочей жидкостью» из горячего резервуара и передаётся ей соответственно в холодный резервуар; больше не остаются идеально обратимыми, и существует разница температур между температурой резервуара и температурой жидкости во время теплообмена.

При передаче тепла от горячего резервуара при ${\displaystyle T_{\text{H}}}$ к жидкости, жидкость будет иметь немного более низкую температуру, чем ${\displaystyle T_{\text{H}}}$, и процесс для жидкости не обязательно может оставаться изотермическим. Пусть ${\displaystyle \Delta S_{\text{H}}}$ — это полное изменение энтропии жидкости в процессе приёма тепла.

${\displaystyle \Delta S_{\text{H}}=\int _{Q_{\text{in}}}{\frac {{\text{d}}Q_{\text{H}}}{T}}}$

где температура жидкости T всегда немного меньше, чем ${\displaystyle T_{\text{H}}}$, в этом процессе.

Итак, получилось бы:

${\displaystyle {\frac {Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}={\frac {\int {\text{d}}Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}\leq \Delta S_{\text{H}}}$

Точно так же во время передачи тепла из жидкости в холодный резервуар для величины изменения общей энтропии ${\displaystyle \Delta S_{\text{C}}}$ жидкости в процессе отвода тепла:

${\displaystyle \Delta S_{\text{C}}=\int _{Q_{\text{out}}}{\frac {{\text{d}}Q_{\text{C}}}{T}}\leq {\frac {\int {\text{d}}Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}={\frac {Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}}$,

где во время этого процесса передачи тепла в холодный резервуар температура жидкости T всегда немного больше, чем ${\displaystyle T_{\text{C}}}$ .

Мы рассмотрели здесь только величину изменения энтропии. Поскольку полное изменение энтропии жидкой системы для циклического процесса равно 0, то

${\displaystyle \Delta S_{\text{H}}=\Delta S_{\text{C}}}$

Предыдущие три уравнения в совокупности дают:

${\displaystyle {\frac {Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}\geq {\frac {Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}}$

Уравнения (2) и (7) вместе дают

${\displaystyle {\frac {W}{Q_{\text{H}}}}\leq 1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \eta \leq \eta _{\text{I}}}$

где ${\displaystyle \eta ={\frac {W}{Q_{\text{H}}}}}$ — КПД реального двигателя, а ${\displaystyle \eta _{\text{I}}}$ КПД машины Карно, работающего между одними и теми же двумя резервуарами при температурах ${\displaystyle T_{\text{H}}}$ а также ${\displaystyle T_{\text{C}}}$. Для двигателя Карно весь процесс «обратим», и уравнение (7) является равенством.

Следовательно, эффективность реального двигателя всегда ниже, чем у идеального двигателя Карно.

Уравнение (7) означает, что полная энтропия всей системы (два резервуара + жидкость) увеличивается для реального двигателя, потому что прирост энтропии холодного резервуара как ${\displaystyle Q_{\text{C}}}$ втекает в него при фиксированной температуре ${\displaystyle T_{\text{C}}}$, больше, чем потеря энтропии горячего резервуара, поскольку ${\displaystyle Q_{\text{H}}}$ оставляет его при фиксированной температуре ${\displaystyle T_{\text{H}}}$ . Неравенство в уравнении (7) по существу является утверждением теоремы Клаузиуса.

Согласно второй теореме «КПД двигателя Карно не зависит от природы рабочего тела».