Теорема Ройшле

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, обозначим ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$ пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$, пересекает продолжения сторон треугольника в точках ${\displaystyle P'_{a}}$, ${\displaystyle P'_{b}}$ и ${\displaystyle P'_{c}}$. Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы ${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle BP'_{b}}$ и ${\displaystyle CP'_{c}}$ пересекаются также в одной точке.

• Для окружности девяти точек, которая в числе прочих носит и название «окружность Теркема». Теркем доказал теорему Теркема^[1]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например ,3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).