Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каково бы ни было комплексное число ${\displaystyle A}$, существует такая последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, сходящаяся к существенно особой точке ${\displaystyle z_{0}}$ аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z)=A}$.

Эта теорема явилась первым результатом, характеризующим предельное множество ${\displaystyle C(f,a)}$ аналитической функции ${\displaystyle f}$ в существенной точке ${\displaystyle a}$^[1]:

Предельное множество ${\displaystyle C(f,a)}$ тотально, то есть совпадает с расширенной плоскостью ${\displaystyle {\overline {C}}_{w}}$ переменного ${\displaystyle w}$.

В случае, когда ${\displaystyle A=\infty }$, теорема справедлива, ибо функция ${\displaystyle f(z)}$ не ограничена по модулю в любой окрестности существенно особой точки.

Пусть теперь ${\displaystyle A\neq \infty }$; будем доказывать теорему от противного. Если в произвольной окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ нельзя найти точек, в которых значения функции сколь угодно близки к ${\displaystyle A}$, то должны существовать окрестность ${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<\delta }$ и число ${\displaystyle a>0}$, такие что ${\displaystyle |f(z)-A|>a}$ при ${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<\delta }$. Рассмотрим вспомогательную функцию ${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{f(z)-A}}}$. Она является аналитической в окрестности ${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<\delta }$ . Кроме того, она удовлетворяет в этой окрестности неравенству ${\displaystyle \left\vert \varphi (z)\right\vert ={\frac {1}{\left\vert f(z)-A\right\vert }}<{\frac {1}{a}}}$.

Следовательно, ${\displaystyle \varphi (z)}$ является правильной в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и её значение в этой точке должно равняться пределу ${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {1}{f(z)-A}}}$. Но ${\displaystyle f(z)}$ не ограничена ни в какой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$. Поэтому указанный предел может быть только нулём, то есть ${\displaystyle \varphi (z_{0})=0}$. Итак, функция ${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-A}}}$ имеет нуль в точке ${\displaystyle z_{0}}$, откуда вытекает, что функция ${\displaystyle f(z)-A}$, а значит и ${\displaystyle f(z)}$ имеет полюс в этой точке, что противоречит условию теоремы. Откуда и следует её справедливость^[2]. ■

Из теоремы вытекает, что если ${\displaystyle z_{0}}$ — существенно особая точка функции ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle E_{\delta }}$ — множество значений, принимаемых функцией в произвольно малой окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<\delta }$ этой точки, то замыкание множества ${\displaystyle E_{\delta }}$ (то есть ${\displaystyle E_{\delta }}$ вместе со всеми предельными точками этого множества) совпадает с расширенной комплексной плоскостью. В самом деле, каждая точка ${\displaystyle A}$ комплексной плоскости является пределом для последовательности ${\displaystyle \{f(z_{n})\}}$ точек, принадлежащих к ${\displaystyle E_{\delta }}$, и, следовательно, ${\displaystyle A}$ принадлежит замыканию множества ${\displaystyle E_{\delta }}$^[3]

Если точка ${\displaystyle z_{0}}$ является существенно особой для функции ${\displaystyle f(z)}$, аналитической в некоторой проколотой окрестности ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \}}$, то для произвольного комплексного числа ${\displaystyle w}$ можно найти последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}\subset U}$, сходящуюся к ${\displaystyle z_{0}}$, для которой ${\displaystyle \{f(z_{n})\}\to w}$.

Множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

• Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного, бесконечное число раз. При её доказательстве используется неравенство Шоттки^[4]. Теорема Сохоцкого непосредственно не распространяется на аналитические отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow C^{n},n>1}$, пространства ${\displaystyle C^{n}}$ многих комплексных переменных ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$^[5].

Эта работа Юлиана Васильевича Сохоцкого являлась продолжением исследований Л. Эйлера, В. Я. Буняковского, М. В. Остроградского в области функций комплексного переменного. В работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Э. Бореля и других учёных был накоплен ряд фактов, приведших к созданию теории распределения значений голоморфных функций. Работая в этом направлении, в 1868 г. Ю. В. Сохоцкий публикует свою магистерскую диссертацию. В ней доказывается теорема, по которой «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция непременно «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Следующий результат принадлежит Э. Пикару, доказавшему в 1879 г., что на самом деле образ проколотой окрестности существенно особой точки на сфере может выпускать самое большее две точки. У Вейерштрасса эта теорема появилась в 1876 г., в работе «К теории однозначных аналитических функций».

Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций^[6]. Ю. В. Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим^[7]. В литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.