Теорема Гамильтона — Кэли

Если ${\displaystyle \ A}$ — квадратная матрица и ${\displaystyle \ c(\lambda )}$ её характеристический многочлен, то ${\displaystyle \ c(A)=0}$.

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

• Пусть ${\displaystyle p_{A}(\lambda )}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$, а матрица ${\displaystyle X}$ коммутирует с ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle p_{A}(X)=M(A-X)}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторая матрица, коммутирующая с ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$^[1].

• Если в характеристическом многочлене ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{m})}$ заменить ${\displaystyle x^{z}}$ на ${\displaystyle A^{z}}$, то получим нулевую матрицу^[2].