Теорема Бернштейна о седловом графике

Сергей Натанович Бернштейн доказал теорему в харьковской работе 1915 года «Sur un théorème de géométrie…»^[1] (публикация растянулась на 1915—1917 годы в «Communications Харьковского математического общества»). Примечательно направление приложения: геометрический факт о целых графиках использован как инструмент исследования квазилинейных эллиптических уравнений — темы, связанной с 19-й и 20-й проблемами Гильберта, над которыми Бернштейн работал; заглавие статьи прямо это отражает. Исходное доказательство опиралось на ряд тогда ещё не строго обоснованных фактов анализа; полные доказательства появились позже (частично — у самого Бернштейна, частично — в работах 1930-х годов)^[3].

В 1952 году Хайнц дал новое доказательство теоремы, основанное на его теореме о гауссовом отображении минимальной поверхности^[5]. Количественное усиление — внутренние априорные оценки градиента решений, из которых теорема следует непосредственно и которые допускают многомерные обобщения, — получили Финн и Миранда, а в общем случае Бомбиери, Де Джорджи и Миранда (1969)^[6]; эти оценки стали основным инструментом теории регулярности. Флеминг (1962) предложил принципиально новое доказательство через предельные конусы и монотонность площади, пригодное для многомерных обобщений^[7]; по этой схеме Де Джорджи (1965) и Альмгрен (1966) получили случаи ${\displaystyle n=3}$ и ${\displaystyle n=4}$^[8][9], а Саймонс (1968) — все ${\displaystyle n\leq 7}$, попутно открыв конус Саймонса^[10]. Бомбиери, Де Джорджи и Джусти (1969) доказали минимальность конуса Саймонса и построили неаффинные целые решения при ${\displaystyle n\geq 8}$^[11], завершив тем самым решение проблемы Бернштейна; работа вошла в цикл, отмеченный Филдсовской премией Бомбиери (1974). Для пространства Минковского полный аналог при всех размерностях доказали Ченг и Яу (1976)^[12].

Пусть ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ — решение уравнения минимальной поверхности

${\displaystyle {\bigl (}1+f_{y}^{2}{\bigr )}f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+{\bigl (}1+f_{x}^{2}{\bigr )}f_{yy}=0}$

на всей плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Тогда ${\displaystyle f(x,y)=ax+by+c}$ — аффинная функция^[13][3].

Эквивалентная геометрическая формулировка: всякая минимальная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, являющаяся графиком функции над всей плоскостью, есть плоскость. Уравнение — это условие равенства нулю средней кривизны графика, то есть уравнение Эйлера — Лагранжа функционала площади ${\displaystyle \textstyle A[f]=\int {\sqrt {1+|\nabla f|^{2}}}\,dx\,dy}$; таким образом, теорема утверждает, что у функционала площади нет целых стационарных точек, кроме аффинных.

Почему «седловой график»

На минимальной поверхности гауссова кривизна неположительна (${\displaystyle K\leq 0}$), так что целый минимальный график — частный случай седлового графика (графика с ${\displaystyle K\leq 0}$). Само по себе условие седловости недостаточно: функция ${\displaystyle f(x,y)=xy}$ даёт целый седловой график с ${\displaystyle K=-{\frac {1}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}<0}$, но его средняя кривизна ${\displaystyle \textstyle H=-{\frac {xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$ нулю не равна, и гиперболический параболоид плоскостью не является. Условие минимальности ${\displaystyle H\equiv 0}$ в теореме заменить простым условием ${\displaystyle K\leq 0}$ нельзя^[3].

Классическое доказательство Бернштейна использовало его теоремы о квазилинейных эллиптических уравнениях (доказательство опиралось на ряд вспомогательных фактов анализа, строго обоснованных позднее)^[3][14]. Современное доказательство по схеме Флеминга^[7] короче:

1. Пусть существует целое неаффинное решение ${\displaystyle f}$; растянем его: ${\displaystyle f_{R}(x)=f(Rx)/R}$ при ${\displaystyle R\to \infty }$.
2. Каждая ${\displaystyle f_{R}}$ — снова решение уравнения (оно инвариантно относительно растяжения ${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx)/R}$), а градиенты равномерно ограничены на внутренних областях.
3. В пределе (по подпоследовательности) получается целый минимальный конус — решение, однородное первой степени.
4. В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ минимальный конус необходимо плоский — это следует из формулы монотонности площади и свойств гауссова отображения^[7][4].
5. Значит, предельный график — плоскость, а тогда ${\displaystyle f}$ аффинна — противоречие с неаффинностью.

Другие известные подходы: доказательство Хайнца, основанное на его теореме о гауссовом отображении минимальной поверхности^[5], доказательство Радо через конформные параметры и гармоничность координатных функций, и метод априорных оценок градиента: внутренние оценки градиента решений уравнения минимальной поверхности, ставшие основным инструментом теории регулярности, получили Финн (для ${\displaystyle n=2}$) и Миранда, а в многомерном случае — Бомбиери, Де Джорджи и Миранда^[6].

Вопрос о том, верен ли аналог теоремы для уравнения минимальной поверхности с ${\displaystyle n\geq 3}$ переменными, — проблема Бернштейна. Её решение^[10][11]:

• при ${\displaystyle n\leq 7}$ всякое целое решение аффинно: случаи ${\displaystyle n=3,4}$ доказали Де Джорджи (1965)^[8] и Альмгрен (1966)^[9], общий случай ${\displaystyle n\leq 7}$ — Саймонс (1968)^[10];
• при ${\displaystyle n\geq 8}$ существуют неаффинные целые решения: их построили Бомбиери, Де Джорджи и Джусти (1969)^[11] на основе конуса Саймонса ${\displaystyle \textstyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}:|x|=|y|\}}$ — минимального конуса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$.

Таким образом, проблема Бернштейна решена полностью: аналог теоремы верен в точности при ${\displaystyle n\leq 7}$ и ложен при ${\displaystyle n\geq 8}$ — случай ${\displaystyle n=8}$ является первой размерностью, где теорема ломается, а не открытым случаем.

Метод во всех случаях один — редукция к минимальным конусам: теорема верна в размерности ${\displaystyle n}$, если в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ нет минимальных конусов, кроме плоскостей; Саймонс классифицировал такие конусы до размерности 7 и построил первый пример особого минимального конуса размерности 7 в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ (конус Саймонса над произведением сфер ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$)^[10]; минимальность (и даже свойство минимизировать площадь) этого конуса доказали Бомбиери, Де Джорджи и Джусти^[11].

1. Плоскости. Функции ${\displaystyle f(x,y)=ax+by+c}$ решают уравнение минимальной поверхности — это единственные целые решения по теореме.

2. Гиперболический параболоид (контрпример к наивному обобщению). ${\displaystyle f(x,y)=xy}$: используя формулу для гауссовой кривизны графика, получаем ${\displaystyle K=-{\frac {1}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}<0}$ (график — строго седловой), но его средняя кривизна ${\displaystyle \textstyle H=-{\frac {xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}}\neq 0}$. Седловости (условия ${\displaystyle K\leq 0}$) без минимальности (${\displaystyle H=0}$) недостаточно для применимости теоремы Бернштейна.

3. Поверхность Шерка. ${\displaystyle \textstyle f(x,y)=\ln {\frac {\cos y}{\cos x}}}$ — решение уравнения (проверяется прямой подстановкой), определённое на «шахматных» областях, например на квадрате ${\displaystyle |x|<\pi /2,\ |y|<\pi /2}$; его гауссова кривизна ${\displaystyle \textstyle K=-{\frac {\cos ^{2}x\,\cos ^{2}y}{{\bigl (}1-\sin ^{2}x\,\sin ^{2}y{\bigr )}^{2}}}<0}$. К границе квадрата функция уходит в бесконечность, и продолжить решение на всю плоскость нельзя — в полном согласии с теоремой Бернштейна: целых решений нет, а локальные существуют.

4. Катеноид ${\displaystyle (\operatorname {ch} v\cos u,\ \operatorname {ch} v\sin u,\ v)}$ — минимальная поверхность (${\displaystyle H=0}$, ${\displaystyle K=-1/\operatorname {ch} ^{4}v<0}$), но её проекция на горизонтальную плоскость — кольцо ${\displaystyle r\geq 1}$, покрытое дважды: условие «быть графиком» нарушено. Теорема на него не распространяется.

5. Геликоид — полная минимальная неплоская поверхность; над каждой точкой вне оси у него два листа, а над осью — целая прямая: снова не график.

6. Задача Дирихле. На любой ограниченной строго выпуклой области уравнение минимальной поверхности имеет единственное решение с любыми непрерывными граничными данными: для двумерного случая этот факт восходит к Радо, а общая теорема разрешимости задачи Дирихле с произвольными непрерывными данными на строго выпуклых областях (в том числе многомерных) принадлежит Дженкинсу и Серрину (1968)^[15]; теорема Бернштейна — её «глобальный» предел: неограниченно расширяя область, целое решение получить нельзя (если оно не плоскость).

7. Контрпримеры при ${\displaystyle n\geq 8}$. Целые неаффинные решения уравнения минимальной поверхности с восемью и более переменными построены на основе конуса Саймонса^[11]; их графики — минимальные гиперповерхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, не являющиеся гиперплоскостями.

8. Аналог в пространстве Минковского. Для пространственноподобных графиков ${\displaystyle t=f(x)}$ в пространстве Минковского (уравнение максимальных гиперповерхностей — то же уравнение с изменённым знаком) аналог теоремы Бернштейна верен во всех размерностях (Ченг — Яу, 1976^[12]): всякая целая максимальная гиперповерхность аффинна. Контраст с евклидовым случаем объясняется равномерной эллиптичностью пространственноподобного уравнения при любом ${\displaystyle n}$.

• Теория минимальных поверхностей. Теорема — базовый факт о глобальном поведении минимальных графиков; её схема доказательства (предельные конусы) стала стандартным инструментом геометрической теории меры^[4].
• Уравнения с частными производными. Свойство Лиувилля для уравнения минимальной поверхности — образец теорем типа Лиувилля для квазилинейных эллиптических уравнений; оценки Хайнца и Финна — Миранды — Бомбиери — Де Джорджи — Миранды применяются в теории регулярности решений^[5][6].
• Физика плёнок и мембран. Мыльные плёнки моделируются минимальными поверхностями (задачей Плато); теорема объясняет, почему «бесконечная плёнка-график» без опоры обязана быть плоской, а все нетривиальные эффекты (катеноидные перетяжки, седла Шерка) живут на ограниченных областях или не являются графиками^[3].
• Дифференциальная геометрия и общая теория относительности. Максимальные гиперповерхности в пространстве Минковского (и пространствах-временах общей теории относительности) описываются тем же уравнением; теорема Ченга — Яу и её обобщения дают жёсткость таких гиперповерхностей и применяются при изучении изолированных систем и космологических решений^[12].
• Архитектура и инженерия. Минимальные и близкие к ним поверхности — форма предварительно натянутых мембранных покрытий и тентовых конструкций (эксперименты Фрая Отто); теорема Бернштейна ограничивает «гладкие целые» формы таких конструкций.
• Компьютерная графика и обработка изображений. Численное решение уравнения минимальной поверхности используется при построении поверхностей на контурах и в minimal surface-регуляризации изображений; глобальные теоремы контролируют вырожденные случаи.

• Уравнение Монжа — Ампера: теорема Йоргенса — Калаби — Погорелова. Точный аналог теоремы Бернштейна для уравнения Монжа — Ампера ${\displaystyle \det(D^{2}f)=1}$: всякое целое выпуклое решение является квадратичным многочленом (график — парабоидоид). Доказана Йоргенсом (1954, ${\displaystyle n=2}$)^[16], Калаби (1958, ${\displaystyle n=3,4}$)^[17] и Погореловым (1971, все ${\displaystyle n}$)^[18]. Это показывает, что свойство Лиувилля (полиномиальность целых решений) характерно не только для минимальных поверхностей, но и для других геометрических уравнений.
• Высшие коразмерности. Для минимальных подмногообразий коразмерности ${\displaystyle \geq 2}$ аналог теоремы Бернштейна неверен даже в малых размерностях: Лоусон и Оссерман (1969) построили неплоские целые минимальные графики коразмерности 2^[19]. Условие коразмерности 1 критически важно.
• Другие окружающие пространства. В гиперболическом пространстве ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ и других римановых многообразиях отрицательной кривизны аналог теоремы Бернштейна, как правило, не выполняется: экспоненциальный рост объёма геодезических шаров ломает стандартные оценки, и существуют нетривиальные целые минимальные графики. В пространстве Минковского, напротив, аналог верен во всех размерностях (Ченг — Яу^[12]).
• Поток средней кривизны. Минимальные поверхности — стационарные точки потока средней кривизны; теоремы типа Бернштейна играют ключевую роль в классификации транслирующих солитонов и самоподобных решений потока (например, теорема Ванга о выпуклых решениях)^[20].
• Теоремы типа Лиувилля для других уравнений. Свойство Лиувилля уравнения минимальной поверхности служит образцом для аналогичных теорем о других квазилинейных уравнениях (${\displaystyle p}$-лапласиан, бесконечный лапласиан), где бернштейновские результаты остаются передним краем современных исследований.