Список конечных простых групп

В математике каждая конечная простая группа является либо циклической, либо знакопеременной, либо принадлежит одному из 16 семейств групп лиева типа, либо является одной из 26 спорадических групп. В этом состоит утверждение теоремы о классификации конечных простых групп — одной из важнейших теорем современной алгебры.

Ниже приводится список всех конечных простых групп с указанием их порядка, порядка мультипликатора Шура и порядка группы внешних автоморфизмов. В некоторых случаях дана информация о существующих представлениях малых размерностей; также упомянуты все дубликаты.

В следующей таблице приведён полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп вместе с их порядками. Отмечены все непростые члены каждого семейства, а также дубликаты (то есть группы, дублирующиеся внутри одного и того же семейства либо в разных семействах). При удалении дубликатов полезно иметь в виду то обстоятельство, что любые две различные конечные простые группы имеют несовпадающие порядки, за следующими исключениями:

группы A₈ = A₃(2) и A₂(4) имеют порядок 20160;
группа B_n(q) имеет тот же порядок, что C_n(q) при нечётных q и n > 2 (наименьшую пару такого вида образуют группы B₃(3) и C₃(3); порядок каждой из них равен 4585351680).

Существует известная коллизия обозначений знакопеременных групп A_n и групп лиева типа A_n(q). Для того чтобы избежать путаницы, многие авторы используют шрифтовые различия для обозначения этих групп. В частности, в данной статье знакопеременные группы A_n обозначаются прямым шрифтом, а группы лиева типа A_n(q) — наклонным (курсивом).

Далее n означает положительное целое число, q — положительную степень простого числа p (с уточнениями при необходимости). Символом (a,b) обозначается наибольший общий делитель целых чисел a и b.

Класс	Семейство	Порядок	Исключение	Дубликаты
Циклические группы	Z_p	p простое	Нет	Нет

Знакопеременные группы	A_n n > 4	${\frac {n!}{2}}$	Нет	A₅ ≃ A₁(4) ≃ A₁(5) A₆ ≃ A₁(9) A₈ ≃ A₃(2)

Классические группы Шевалле	A_n(q)	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	A₁(2), A₁(3)	A₁(4) ≃ A₁(5) ≃ A₅ A₁(7) ≃ A₂(2) A₁(9) ≃ A₆ A₃(2) ≃ A₈
	B_n(q) n > 1	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	B₂(2)	B_n(2^m) ≃ C_n(2^m) B₂(3) ≃ ²A₃(2²)
	C_n(q) n > 2	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	Нет	C_n(2^m) ≃ B_n(2^m)
	D_n(q) n > 3	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	Нет	Нет
Исключительные группы Шевалле	E₆(q)	${\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	Нет	Нет
	E₇(q)	${\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)$	Нет	Нет
	E₈(q)	$q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)$	Нет	Нет
	F₄(q)	$q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	Нет	Нет
	G₂(q)	$q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)$	G₂(2)	Нет
Классические группы Стейнберга^[a]	²A_n(q²) n > 1	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	²A₂(2²)	²A₃(2²) ≃ B₂(3)
Классические группы Стейнберга^[a]	²D_n(q²) n > 3	${\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	Нет	Нет
Исключительные группы Стейнберга	²E₆(q²)	${\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)$	Нет	Нет
Исключительные группы Стейнберга	³D₄(q³)	$q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)$	Нет	Нет
Группы Судзуки^[b]	²B₂(q) q = 2²ⁿ⁺¹	$q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)$	Нет	Нет
Группы Ри + Группа Титса	²F₄(q) q = 2²ⁿ⁺¹	$q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	Нет	Нет
	²F₄(2)′	2¹²(2⁶ + 1)(2⁴ − 1)(2³ + 1)(2 − 1)/2 = 17 971 200
	²G₂(q) q = 3²ⁿ⁺¹	$q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	Нет	Нет

Группы Матьё	M₁₁	7920
	M₁₂	95 040
	M₂₂	443 520
	M₂₃	10 200 960
	M₂₄	244 823 040
Группы Янко	J₁	175 560
	J₂	604 800
	J₃	50 232 960
	J₄	86 775 571 046 077 560 000
Группы Конвея	Co₃	495 766 656 000
	Co₂	42 305 421 312 000
	Co₁	4 157 776 806 543 360 000
Группы Фишера	Fi₂₂	64 561 751 654 400
	Fi₂₃	4 089 470 473 293 005 000
	Fi₂₄′	1 255 205 709 190 661 800 000 000
Группа Хигмена — Симса	HS	44 352 000
Группа Маклафлина	McL	898 128 000
Группа Хельда	He	4 030 387 200
Группа Рудвалиса	Ru	145 926 144 000
Спорадическая группа Судзуки^[b]	Suz	448 345 497 600
Группа О’Нана	O’N	460 815 505 920
Группа Харады — Нортона	HN	273 030 912 000 000
Группа Лайонса	Ly	51 765 179 004 000 000
Группа Томпсона	Th	90 745 943 887 872 000
Бэби-монстр	B	4 154 781 481 226 426 000 000 000 000 000 000
Монстр	M	808 017 424 794 512 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Простота: циклическая группа Z_p, p > 1, проста в том и только в том случае, если p — простое число.

Порядок: p.

Мультипликатор Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: циклическая порядка p − 1.

Другие обозначения: Z/pZ, C_p.

Замечание: такие группы — единственные простые группы, не являющиеся совершенными.

Простота: знакопеременная группа A_n разрешима при n ${\leqslant }$ 4 и проста при n > 4.

Порядок: n!/2 при n > 1.

Мультипликатор Шура: порядка 2 при n = 5 или n > 7; порядка 6 при n = 6 или 7.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2 за следующими исключениями: при n = 1 и n = 2 группа внешних автоморфизмов тривиальна; при n = 6 имеет порядок 4 (элементарная абелева).

Другие обозначения: Alt_n.

Изоморфизмы: группы A₁ и A₂ тривиальны; A₃ — циклическая порядка 3. Далее, A₅ ≃ A₁(4) ≃ A₁(5), A₆ ≃ A₁(9) ≃ B₂(2)′ и A₈ ≃ A₃(2).

Замечание: группа A_n — нормальная подгруппа индекса 2 симметрической группы S_n при n > 1.

Обозначения: n — положительное число, q > 1 — степень простого числа p, являющаяся также порядком основного конечного поля (над которым рассматривается векторное пространство). Порядок группы внешних автоморфизмов записывается в виде d⋅f⋅g, где d — порядок группы «диагональных автоморфизмов», f — порядок (циклической) группы «автоморфизмов поля» (порождённой автоморфизмом Фробениуса) и g — порядок «группы графа» (группы автоморфизмов диаграммы Дынкина). Группа внешних автоморфизмов обычно (но не всегда) изоморфна полупрямому произведению $D\rtimes (F\times G)$ , где все три группы $D,F,G$ — циклические и имеют порядок соответственно d, f, g, за исключением типа $D_{n}(q)$ при нечётном $q$ , когда группа порядка $d=4$ есть квадрат циклической группы $C_{2}\times C_{2}$ , и (только при $n=4$ ) $G=S_{3}$ (симметрическая группа множества из трёх элементов). Символом (a,b), как и ранее, обозначается наибольший общий делитель целых чисел a и b.

Группы Шевалле

	Группы Шевалле, A_n(q), линейные группы	Группы Шевалле, B_n(q), n > 1, ортогональные группы	Группы Шевалле, C_n(q), n > 2, симплектические группы	Группы Шевалле, D_n(q), n > 3, ортогональные группы
Простота	A₁(2) и A₁(3) разрешимы, остальные — просты.	B₂(2) не проста, но её коммутант B₂(2)′ — простая подгруппа индекса 2; остальные — просты.	Все — простые.	Все — простые.
Порядок	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$
Мультипликатор Шура	Для простых групп A_n(q) — циклическая группа порядка (n+1,q−1), за исключением: A₁(4) (тогда имеет порядок 2), A₁(9) (порядок 6), A₂(2) (порядок 2), A₂(4) (порядок 48: представляет собой прямую сумму циклических групп порядков 3, 4, 4), A₃(2) (порядок 2).	Имеет порядок (2,q−1) за исключением случаев: B₂(2) = S₆ (порядок 2 для B₂(2), порядок 6 для B₂(2)′) и B₃(2) (порядок 2) и B₃(3) (порядок 6).	Имеет порядок (2,q−1) за исключением случая C₃(2) (тогда имеет порядок 2).	Имеет порядок (4,qⁿ−1) (циклическая группа при нечётных n, элементарная абелева при чётных n) за исключением D₄(2) (тогда порядка 4, элементарная абелева).
Группа внешних автоморфизмов	(2,q−1)⋅f⋅1 при n = 1; (n+1,q−1)⋅f⋅2 при n > 1, где q = p^f.	(2,q−1)⋅f⋅1 при нечётном q или n > 2; (2,q−1)⋅f⋅2 при нечётном q и n = 2, где q = p^f.	(2,q−1)⋅f⋅1, где q = p^f.	(2,q−1)²⋅f⋅S₃ при n = 4; (2,q−1)²⋅f⋅2 при чётном n > 4; (4,qⁿ−1)⋅f⋅2 при нечётном n, где q = p^f и S₃ — симметрическая группа множества из 3 элементов.
Другие названия	проективная специальная линейная группа, PSL_n+1(q), L_n+1(q), PSL(n + 1,q).	O_2n+1(q), Ω_2n+1(q) (для нечётных q).	Проективная симплектическая группа, PSp_2n(q), PSp_n(q) (нерекомендуемое обозначение), S_2n(q), «абелева группа» (в устаревшем смысле).	O_2n⁺(q), PΩ_2n⁺(q); «Гипоабелева группа» — устаревшее название для этих групп в случае поля характеристики 2.
Изоморфизмы	A₁(2) изоморфна симметрической группе S₃ (порядок равен 6). A₁(3) изоморфна знакопеременной группе A₄ (разрешимой). Обе группы A₁(4) и A₁(5) изоморфны знакопеременной группе A₅. A₁(7) и A₂(2) изоморфны. A₁(8) изоморфна коммутанту ²G₂(3)′. A₁(9) изоморфна группе A₆ и коммутанту B₂(2)′. A₃(2) изоморфна группе A₈.	B_n(2^m) изоморфна группе C_n(2^m). B₂(2) изоморфна симметрической группе S₆, и коммутант B₂(2)′ изоморфен группе A₁(9) и группе A₆. B₂(3) изоморфна группе ²A₃(2²).	C_n(2^m) изоморфна группе B_n(2^m).
Замечания	Группа A_n(q) получается факторизацией специальной линейной группы SL_n+1 (то есть подгруппы общей линейной группы GL_n+1, состоящей из матриц, детерминант которых равен 1) по её центру (центр специальной линейной группы SL_n+1 состоит из скалярных матриц) λE, где E — единичная матрица и λⁿ⁺¹=1 — корень из единицы в поле).	Эта группа получается из ортогональной группы в размерности 2n + 1 взятием (общего) ядра отображений детерминанта и спинорной нормы (и затем факторизацией по центру). Группа B₁(q) также существует: она совпадает с A₁(q). B₂(q) имеет нетривиальный автоморфизм графа в случае, если q есть степень двойки.	Эта группа получается факторизацией по центру симплектической группы в размерности 2n. Также существуют группы C₁(q) и C₂(q): они совпадают с группами A₁(q) и B₂(q) соответсвенно.	Эта группа получается из расщепимой ортогональной группы в размерности 2n взятием ядра отображений детерминанта (либо инварианта Диксона в случае характеристики 2) и спинорной нормы и последующей факторизацией по центру. Группы типа D₄ имеют необычно большую (порядка 6) группу автоморфизмов диаграммы (эта группа включает автоморфизм триальности). Также существует группа D₂(q): она совпадает с группой A₁(q)×A₁(q). Группа D₃(q) также существует и совпадает с A₃(q).

Исключительные группы Шевалле

	Группы Шевалле E₆(q)	Группы Шевалле E₇(q)	Группы Шевалле E₈(q)	Группы Шевалле F₄(q)	Группы Шевалле G₂(q)
Простота	Все — простые.	Все — простые.	Все — простые.	Все — простые.	G₂(2) не проста, но её коммутант G₂(2)′ является простой подгруппой индекса 2; остальные группы — просты.
Порядок	q³⁶(q¹²−1)(q⁹−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵−1)(q²−1)/(3,q−1)	q⁶³(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q¹⁰−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)/(2,q−1)	q¹²⁰(q³⁰−1)(q²⁴−1)(q²⁰−1)(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q⁸−1)(q²−1)	q²⁴(q¹²−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)	q⁶(q⁶−1)(q²−1)
Мультипликатор Шура	(3,q−1)	(2,q−1)	Тривиален.	Тривиален за исключением случая F₄(2) (имеет порядок 2).	Тривиален для простых групп за исключением случаев G₂(3) (имеет порядок 3) и G₂(4) (порядок 2).
Группа внешних автоморфизмов	(3,q−1)⋅f⋅2, где q = p^f.	(2,q−1)⋅f⋅1, где q = p^f.	1⋅f⋅1, где q = p^f.	1⋅f⋅1 для нечётного q, 1⋅f⋅2 для чётного q, где q = p^f.	1⋅f⋅1, если q не является степенью числа 3, 1⋅f⋅2 если q есть степень числа 3, где q = p^f.
Другие названия	Исключительная группа Шевалле	Исключительная группа Шевалле	Исключительная группа Шевалле	Исключительная группа Шевалле	Исключительная группа Шевалле
Изоморфизмы					Коммутант G₂(2)′ изоморфен группе ²A₂(3²).
Замечания	Обладает двумя представлениями размерности 27 и действует на алгебре Ли размерности 78.	Обладает представлением размерности 56 и действует на соответствующей алгебре Ли размерности 133.	Действует на соответствующей алгебре Ли размерности 248. Группа E₈(3) содержит простую группу Томпсона.	Эти группы действуют на 27-мерных исключительных Йордановых алгебрах, которые определяют их 26-мерные представления. Они также действуют на соответствующих алгебрах Ли размерности 52. У группы F₄(q) существует нетривиальный изоморфизм графа в случае, если q является степенью числа 2.	Эти группы представляют собой группы автоморфизмов 8-мерных алгебр Кэли над конечными полями, которые определяют их 7-мерные представления. Они также действуют на соответсвтующих алгебрах Ли размерности 14. У группы G₂(q) существует нетривиальный изоморфизм графа в случае, если q является степенью числа 3. Кроме того, эти группы появляются в качестве групп автоморфизмов некоторых структур (геометрий) инцидентности, называемых расщеплёнными обобщёнными шестиугольниками Кэли.

Группы Стейнберга

	Группы Стейнберга^[a], ²A_n(q²) n > 1 унитарные группы	Группы Стейнберга, ²D_n(q²) n > 3 ортогональные группы	Группы Стейнберга, ²E₆(q²)	Группы Стейнберга, ³D₄(q³)
Простота	Группа ²A₂(2²) разрешима, остальные — просты.	Все — простые.	Все — простые.	Все — простые.
Порядок	${1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	${1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	q³⁶(q¹²−1)(q⁹+1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵+1)(q²−1)/(3,q+1)	q¹²(q⁸+q⁴+1)(q⁶−1)(q²−1)
Мультипликатор Шура	Циклическая группа порядка (n+1,q+1) для этих простых групп, за исключением ²A₃(2²) (порядок — 2), ²A₃(3²) (группа порядка 36: прямое произведение циклических групп порядков 3, 3, 4), ²A₅(2²) (группа порядка 12: прямое произведение циклических групп порядков 2,2,3).	Циклическая группа порядка (4,qⁿ+1).	Группа порядка (3,q+1) за исключением ²E₆(2²) (группа порядка 12: прямое произведение циклических групп порядков 2, 2, 3).	Тривиален.
Группа внешних автоморфизмов	(n+1,q+1)⋅f⋅1, где q² = p^f	(4,qⁿ+1)⋅f⋅1, где q² = p^f	(3,q+1)⋅f⋅1, где q² = p^f	1⋅f⋅1, где q³ = p^f
Другие названия	Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSU_n+1(q), PSU(n + 1, q), U_n+1(q), ²A_n(q), ²A_n(q, q²).	²D_n(q), O_2n⁻(q), PΩ_2n⁻(q), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» — устаревшее название этой группы в случае характеристики 2.	²E₆(q), скрученная группа Шевалле.	³D₄(q), D₄²(q³), скрученные группы Шевалле.
Изоморфизмы	Разрешимая группа ²A₂(2²) изоморфна расширению порядка 8 группы кватернионов с помощью элементарной абелевой группы порядка 9. Группа ²A₂(3²) изоморфна коммутанту G₂(2)′. Группа ²A₃(2²) изоморфна группе B₂(3).
Замечания	Эта группа получается факторизацией по центру специальной унитарной группы (действующей на векторном пространстве размерности n + 1).	Эта группа получается из нерасщепимой ортогональной группы в размерности 2n взятием ядра детерминанта (либо инварианта Диксона в случае характеристики 2) и спинорной нормы и последующей факторизацией по центру. Группы ²D₂(q²) и ²D₃(q²) также существуют: они совпадают соответственно с группами A₁(q²) и ²A₃(q²).	Одно из исключительных двойных накрытий группы ²E₆(2²) является подгруппой бэби-монстра, а её исключительное центральное расширение посредством элементарной абелевой группы порядка 4 является подгруппой монстра.	³D₄(2³) действует на единственной чётной решётке без корней в 26-мерном пространстве.

Группы Судзуки

Простота: группы Судзуки^[b] ²B₂(2²ⁿ⁺¹) просты при n ${\geqslant }$ 1; группа ²B₂(2) разрешима.

Порядок: q² (q² + 1) (q − 1), где q = 2²ⁿ⁺¹.

Мультипликатор Шура: тривиальная группа при n ≠ 1, элементарная абелева порядка 4 при ²B₂(8).

Группа внешних автоморфизмов: 1⋅f⋅1, где f = 2n + 1.

Другие обозначения: Suz(2²ⁿ⁺¹), Sz(2²ⁿ⁺¹).

Изоморфизмы: ²B₂(2) является группой Фробениуса порядка 20.

Замечания: группы Судзуки являются группами Цассенхауза, действующими на множествах мощности (2²ⁿ⁺¹)² + 1, и обладают 4-мерными линейными представлениями над полем порядка 2²ⁿ⁺¹; эти группы суть единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3; группы Судзуки не следует путать с (не связанной с ними) спорадической группой Судзуки.

Группы Ри и группа Титса

Простота: группы Ри ²F₄(2²ⁿ⁺¹) просты при n ${\geqslant }$ 1; коммутант ²F₄(2)′ является простой подгруппой индекса 2 группы ²F₄(2) и называется группой Титса.

Порядок: q¹² (q⁶ + 1) (q⁴ − 1) (q³ + 1) (q − 1), где q = 2²ⁿ⁺¹; группа Титса имеет порядок 17971200 = 2¹¹ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 13.

Мультипликатор Шура: тривиален при n ${\geqslant }$ 1 и для группы Титса.

Группа внешних автоморфизмов: 1⋅f⋅1, где f = 2n + 1; порядка 2 для группы Титса.

Замечание: в отличие от других простых групп лиева типа, группа Титса не обладает BN-парой, в то время как её группа автоморфизмов этой парой обладает; указанное свойство существенно выделяет группу Титса среди прочих групп лиева типа.

Группы Ри

Простота: Группы Ри ²G₂(3²ⁿ⁺¹) просты при n > 1. Группа ²G₂(3) не является простой, но её коммутант ²G₂(3)′ является её простой подгруппой порядка 3.

Порядок: q³ (q³ + 1) (q − 1), где q = 3²ⁿ⁺¹.

Мультипликатор Шура: тривиален, при n ${\geqslant }$ 1 и в случае группы ²G₂(3)′.

Группа внешних автоморфизмов: 1⋅f⋅1, где f = 2n + 1.

Другие обозначения: Ree(3²ⁿ⁺¹), R(3²ⁿ⁺¹), E₂^∗(3²ⁿ⁺¹) (последнее обозначение восходит к Томпсону, было распространено в 1970-х годах). .

Изоморфизмы: Коммутант ²G₂(3)′ изоморфен группе A₁(8).

Замечание: ²G₂(3²ⁿ⁺¹) обладает дважды транзитивным представлением в группе перестановок множества из 3^3(2n+1) + 1 элементов и действует на 7-мерном векторном пространстве над полем из 3²ⁿ⁺¹ элементов.

Группы Матьё

	Группа Матьё M₁₁	Группа Матьё M₁₂	Группа Матьё M₂₂	Группа Матьё M₂₃	Группа Матьё M₂₄
Порядок	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2⁶ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2⁷ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2⁷ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Мультипликатор Шура	Тривиален.	Порядка 2.	Циклическая группа порядка 12^[c].	Тривиален.	Тривиален.
Группа внешних автоморфизмов	Тривиален.	Порядка 2.	Порядка 2.	Тривиален.	Тривиален.
Замечания	4-транзитивная группа подстановок на множестве из 11 элементов.	5-транзитивная группа подстановок на множестве из 12 элементов, содержится в группе M₂₄.	3-транзитивная группа подстановок на множестве из 22 элементов.	4-транзитивная группа подстановок на множестве из 23 элементов.	5-транзитивная группа подстановок на множестве из 24 элементов.

Группы Янко

	Группа Янко J₁	Группа Янко J₂	Группа Янко J₃	Группа Янко J₄
Порядок	2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2⁷ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7 = 604800	2⁷ ⋅ 3⁵ ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2²¹ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11³ ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Мультипликатор Шура	Тривиален.	Порядка 2.	Порядка 3.	Тривиален.
Группа внешних автоморфизмов	Тривиален.	Порядка 2.	Порядка 2.	Тривиален.
Другие названия	J(1), J(11)	Группа Холла — Янко, HJ	Группа Хигмена — Янко — Маккея, HJM
Замечания	Подгруппа группы G₂(11), поэтому имеет 7-мерное представление над полем из 11 элементов.		Скорее всего, группа J₃ мало связана с прочими спорадическими группами. Её тройное накрытие обладает 9-мерным унитарным представлением над полем из 4 элементов.	Обладает 112-мерным представлением над полем из 2 элементов.

Группы Конвея

	Группа Конвея Co₁	Группа Конвея Co₂	Группа Конвея Co₃
Порядок	2²¹ ⋅ 3⁹ ⋅ 5⁴ ⋅ 7² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2¹⁸ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2¹⁰ ⋅ 3⁷ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Мультипликатор Шура	Порядка 2.	Тривиален.	Тривиален.
Группа внешних автоморфизмов	Тривиальна.	Тривиальна.	Тривиальна.
Другие обозначения	·1	·2	·3, C₃
Замечания	Совершенное двойное накрытие Co₀ группы Co₁ совпадает с группой автоморфизмов решётки Лича; оно иногда обозначается через ·0.	Подгруппа группы Co₀.	Подгруппа группы Co₀.

Группы Фишера

	Группа Фишера Fi₂₂	Группа Фишера Fi₂₃	Группа Фишера Fi₂₄′
Порядок	2¹⁷ ⋅ 3⁹ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2¹⁸ ⋅ 3¹³ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2²¹ ⋅ 3¹⁶ ⋅ 5² ⋅ 7³ ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Мультипликатор Шура	Порядка 6.	Тривиален.	Порядка 3.
Группа внешних автоморфизмов	Порядка 2.	Тривиален.	Порядка 2
Другие обозначения	M(22)	M(23)	M(24)′, F₃₊
Замечания	Группа с 3-транспозициями , двойное накрытие которой содержится в Fi₂₃.	Группа с 3-транспозициями, содержащаяся в Fi₂₄′.	Тройное накрытие этой группы содержится в группе Монстр.

Группа Хигмена — Симса, HS

Порядок: 2⁹ ⋅ 3² ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Мультипликатор Шура: порядка 2.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Замечания: эта группа действует перестановок (автоморфизмов) ранга 3 Хигмана — Симса с 100 вершинами; содержится в группах Конвея Co₂ и Co₃.

Группа Маклафлина, McL

Порядок: 2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Мультипликатор Шура: порядка 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Замечания: эта группа действует как группа перестановок (автоморфизмов) ранга 3 графа Маклафлина с 275 вершинами; содержится в группах Конвея Co₂ и Co₃.

Группа Хельда, He

Порядок: 2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7³ ⋅ 17 = 4030387200

Мультипликатор Шура: тривиален.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Другие названия: группа Хельда — Хигмена — Маккея, HHM, F₇, HTH.

Замечание: эта группа централизует элемент порядка 7 в группе монстр.

Группа Рудвалиса, Ru

Порядок: 2¹⁴ ⋅ 3³ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Мультипликатор Шура: порядка 2.

Группа внешних автоморфизмов: тривальна.

Remarks: двойное накрытие этой группы действует на 28-мерной решётке над кольцом гауссовых целых чисел.

Спорадическая группа Судзуки, Suz

Порядок: 2¹³ ⋅ 3⁷ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Мультипликатор Шура: порядка 6.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Другое обозначение: Sz

Замечания: эта группа не связана с группами Судзуки лиева типа; её 6-кратное накрытие действует на 12‑мерной решётке над кольцом чисел Эйзенштейна.

Группа О’Нана, O’N

Порядок: 2⁹ ⋅ 3⁴ ⋅ 5 ⋅ 7³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Мультипликатор Шура: порядка 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Другие названия: группа О’Нана — Симса, O’NS, O-S

Замечание: тройное накрытие этой группы обладает двумя 45‑мерными представлениями над полем из 7 элементов, причём эти представления взаимно переставляются некоторым внешним автоморфизмом.

Группа Харады — Нортона, HN

Порядок: 2¹⁴ ⋅ 3⁶ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Мультипликатор Шура: тривиален.

Группа внешних автоморфизмов: порядка 2.

Другие обозначения: F₅, D.

Замечание: эта группа централизует некоторый элемент порядка 5 группы Монстр.

Группа Лайонса, Ly

Порядок: 2⁸ ⋅ 3⁷ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Мультипликатор Шура: тривиален.

Группа внешних автоморфизмов: тривиальна.

Другие названия: группа Лайонса — Симса, LyS

Замечание: эта группа обладает 111-мерным представлением над полем из 5 элементов.

Группа Томпсона, Th

Порядок: 2¹⁵ ⋅ 3¹⁰ ⋅ 5³ ⋅ 7² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Мультипликатор Шура: тривиален.

Группа внешних автоморфизмов: тривиальна.

Другие обозначения: F₃, E.

Замечание: эта группа централизует некоторый элемент порядка 3 группы Монстр.

Бэби-монстр, B

Порядок:

2⁴¹ ⋅ 3¹³ ⋅ 5⁶ ⋅ 7² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47 =

= 4154781481226426191177580544000000

Мультипликатор Шура: порядка 2.

Группа внешних автоморфизмов: тривиальна.

Другие обозначения: F₂

Замечание: двойное накрытие этой группы содержится в группе Монстр.

Монстр, M

Порядок:

2⁴⁶ ⋅ 3²⁰ ⋅ 5⁹ ⋅ 7⁶ ⋅ 11² ⋅ 13³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71 =

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Мультипликатор Шура: тривиален.

Группа внешних автоморфизмов: тривиальна.

Другие названия: F₁, M₁, группа Монстр, монстр Фишера — Гриса, дружественный гигант, монстр Фишера.

Замечание: каждая из спорадических групп, за исключением шести из них, изоморфна факторгруппе некоторой подгруппы этой группы.

В следующей таблице представлены все нециклические простые группы порядка, не превосходящего 100000.

Порядок	Факторизация порядка	Группа	Мультипликатор Шура	Группа внешних автоморфизмов
60	2² ⋅ 3 ⋅ 5	A₅ ≃ A₁(4) ≃ A₁(5)	2	2
168	2³ ⋅ 3 ⋅ 7	A₁(7) ≃ A₂(2)	2	2
360	2³ ⋅ 3² ⋅ 5	A₆ ≃ A₁(9) ≃ B₂(2)′	6	2×2
504	2³ ⋅ 3² ⋅ 7	A₁(8) ≃ ²G₂(3)′	1	3
660	2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	A₁(11)	2	2
1092	2² ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A₁(13)	2	2
2448	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 17	A₁(17)	2	2
2520	2³ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₇	6	2
3420	2² ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 19	A₁(19)	2	2
4080	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A₁(16)	1	4
5616	2⁴ ⋅ 3³ ⋅ 13	A₂(3)	1	2
6048	2⁵ ⋅ 3³ ⋅ 7	²A₂(9) ≃ G₂(2)′	1	2
6072	2³ ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A₁(23)	2	2
7800	2³ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 13	A₁(25)	2	2×2
7920	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 11	M₁₁	1	1
9828	2² ⋅ 3³ ⋅ 7 ⋅ 13	A₁(27)	2	6
12180	2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	A₁(29)	2	2
14880	2⁵ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	A₁(31)	2	2
20160	2⁶ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₃(2) ≃ A₈	2	2
20160	2⁶ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₂(4)	3×4²	D₁₂
25308	2² ⋅ 3² ⋅ 19 ⋅ 37	A₁(37)	2	2
25920	2⁶ ⋅ 3⁴ ⋅ 5	²A₃(4) ≃ B₂(3)	2	2
29120	2⁶ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	²B₂(8)	2²	3
32736	2⁵ ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A₁(32)	1	5
34440	2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	A₁(41)	2	2
39732	2² ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	A₁(43)	2	2
51888	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	A₁(47)	2	2
58800	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 7²	A₁(49)	2	2²
62400	2⁶ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 13	²A₂(16)	1	4
74412	2² ⋅ 3³ ⋅ 13 ⋅ 53	A₁(53)	2	2
95040	2⁶ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 11	M₁₂	2	2

↑ ¹ ² В русской математической литературе предыдущих десятилетий иногда встречалась транскрипция «Штейнберг».
↑ ¹ ² ³ В русской математической литературе предыдущих лет часто встречается транскрипция «Сузуки».
↑ Первоначально мультипликатор Шура в данном случае был вычислен неправильно, так что в старой литературе приводились неверные сведения. Это обстоятельство послужило причиной ошибки в заглавии оригинальной работы (1976) Янко^[1].)

Источники

↑ Janko Z. A new finite simple group of order 86,775,571,046,077,562,880 which possesses M₂₄ and the full covering group of M₂₂ as subgroups. // Journal of Algebra. — 1976. — Т. 42. — С. 564—596. — doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0.

Ашбахер М. Конечные простые группы и их классификация = The Finite Simple Groups and their Classification // Успехи математических наук. — 1981. — Т. 36 (218), вып. 2. — С. 141–172.
Камерон П. Дж. Конечные группы подстановок и конечные простые группы = Finite permutation groups and finite simple groups // Успехи математических наук. — 1983. — Т. 38 (231), вып. 3. — С. 135–157.
Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / пер. с англ. В. И. Логинова; под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1985. — 352 с.
Вавилов Н. А.. Простые алгебры Ли, простые алгебраические группы и простые конечные группы // Математика XX века. Взгляд из Петербурга / Под ред. А. М. Вершика. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-586-3.
Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson, R. A. Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853199-0. — doi:10.2307/2007904.
Robert A. Wilson. The finite simple groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — Т. 251. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.

[nSteinberg-1] ¹ ² В русской математической литературе предыдущих десятилетий иногда встречалась транскрипция «Штейнберг».

[nSuzuki-2] ¹ ² ³ В русской математической литературе предыдущих лет часто встречается транскрипция «Сузуки».

[4] Первоначально мультипликатор Шура в данном случае был вычислен неправильно, так что в старой литературе приводились неверные сведения. Это обстоятельство послужило причиной ошибки в заглавии оригинальной работы (1976) Янко^[1].)

[3] Janko Z. A new finite simple group of order 86,775,571,046,077,562,880 which possesses M₂₄ and the full covering group of M₂₂ as subgroups. // Journal of Algebra. — 1976. — Т. 42. — С. 564—596. — doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0.

[a]

[b]

[c]

[1]

Список конечных простых групп

Сводка результатов

Циклические группы

Знакопеременные группы

Группы лиева типа

Группы Шевалле

Исключительные группы Шевалле

Группы Стейнберга

Группы Судзуки

Группы Ри и группа Титса

Группы Ри

Спорадические группы

Группы Матьё

Группы Янко

Группы Конвея

Группы Фишера

Группа Хигмена — Симса, HS

Группа Маклафлина, McL

Группа Хельда, He

Группа Рудвалиса, Ru

Спорадическая группа Судзуки, Suz

Группа О’Нана, O’N

Группа Харады — Нортона, HN

Группа Лайонса, Ly

Группа Томпсона, Th

Бэби-монстр, B

Монстр, M

Нециклические простые группы малых порядков

Примечания

Комментарии

Источники

Литература

Категории