Элементарная абелева группа

• Элементарная абелева группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{2}}$ (элементарная 2-группа с двумя порождающими) имеет четыре элемента: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Операция сложения — покомпонентная по модулю 2, например, ${\displaystyle (1,0)+(1,1)=(0,1)}$. Эта группа представляет собой не что иное, как четверную группу Клейна.
• Пусть ${\displaystyle \Omega (X)}$ обозначает множество всех подмножеств (необязательно конечного) множества ${\displaystyle X}$. Операция симметрической разности на множестве ${\displaystyle \Omega (X)}$ превращает его в группу, каждый ненулевой элемент которой имеет порядок 2. Кроме того, любая группа с таким свойством необходимо абелева, поскольку тогда каждый её элемент обратен сам себе и тогда ${\displaystyle xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx}$. Такая группа (иногда называемая булевой группой) обобщает четверную группу Клейна на случай произвольного множества (числа) компонент.
• Группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}}$ — элементарная абелева p-группа, порождённая ${\displaystyle n}$ элементами, причём ${\displaystyle n}$ — наименьшее число её порождающих элементов. В частности, минимальным порождающим множеством этой группы является множество ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$, где ${\displaystyle e_{i}}$ — элемент, ${\displaystyle i}$-я координата которого равна 1, а остальные равны 0.
• Каждая конечная элементарная абелева p-группа весьма простым способом задаётся через порождающие элементы и определяющие соотношения:

${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle }$.

Пусть ${\displaystyle (A,+)}$ — элементарная абелева p-группа (здесь и далее используется аддитивная форма записи групповой операции в абелевой группе). Для любого ненулевого ${\displaystyle a\in A}$ и целых чисел ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$

${\displaystyle ka=la}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k=l\mod p}$.

Отсюда следует, что отображение ${\displaystyle F_{p}\times A\to A}$, заданное правилом ${\displaystyle {\bar {k}}\cdot a=ka}$ для каждого ${\displaystyle {\bar {k}}\in F_{p}}$ и ${\displaystyle a\in A}$, корректно определено^[b]. Справедливость аксиом векторного пространства при таком умножении на скаляр проверяется непосредственно. Так определённое векторное пространство ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ над ${\displaystyle F_{p}}$ имеет базис мощности ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ и изоморфно прямой сумме^[6]

${\displaystyle \bigoplus _{\iota \in I}A(\iota )}$, где ${\displaystyle |I|={\mathfrak {n}}}$ и ${\displaystyle A(\iota )=F_{p}}$ для всех ${\displaystyle \iota \in I}$.

В строгом смысле, эта прямая сумма, как векторное пространство, является прямой суммой векторных пространств; тривиальным образом переходя к их аддитивным группам, можно заключить, что элементарная абелева p-группа ${\displaystyle A}$ изоморфна прямой сумме ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ экземпляров циклических групп ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$^[c]; кардинальное число ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ в этом случае называется рангом элементарной абелевой группы. В частности, в случае конечного кардинала ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ группа ${\displaystyle A}$ изоморфна прямой степени ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\mathfrak {n}}}$. Это объясняется тем, что для конечного набора слагаемых понятия прямой суммы и прямого произведения тождественны. Таким образом, каждая элементарная абелева группа с точностью до изоморфизма однозначно определяется простым числом ${\displaystyle p}$ (общим порядком всех своих ненулевых элементов) и своим рангом ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$. В частности, конечная элементарная абелева группа однозначно определяется своим порядком (количеством элементов), который имеет вид ${\displaystyle p^{n}}$, где ${\displaystyle p}$ — простое и ${\displaystyle n}$ — неотрицательное целое.

Итак, каждой элементарной абелевой p-группе было поставлено в соответствие векторное пространство (над полем ${\displaystyle F_{p}}$), аддитивной группой которого она является. Обратно, аддитивная группа любого векторного пространства над ${\displaystyle F_{p}}$, очевидно, является элементарной абелевой p-группой. Эти соответствия взаимно обратны. Кроме того, легко видеть, что каждый гомоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ элементарных абелевых p-групп является линейным отображением соответствующих векторных пространств ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$. Сказанное по существу доказывает, что категория элементарных абелевых p-групп изоморфна категории векторных пространств над полем ${\displaystyle F_{p}}$.

Пусть, как и в предыдущем разделе, элементарная абелева p-группа ${\displaystyle A}$ рассматривается как векторное пространство над конечным полем ${\displaystyle F_{p}}$; каждый автоморфизм группы ${\displaystyle A}$ может рассматриваться как линейный изоморфизм векторного пространства ${\displaystyle A}$ на себя, то есть как элемент полной линейной группы ${\displaystyle GL(A)}$. Другими словами, можно считать, что

${\displaystyle \operatorname {Aut} (A)=GL(A)}$.

Если порядок группы ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle p^{n}}$ (то есть ${\displaystyle A}$ — конечная элементарная абелева p-группа ранга n), то порядок группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A)=GL(A)}$ равен

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(p^{n}-p^{k})=(p^{n}-1)(p^{n}-p)(p^{n}-p^{2})\cdot \ldots \cdot (p^{n}-p^{n-1}).}$

Это выражение также может быть записано в виде:

${\displaystyle p^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}K_{n}}$,

где

${\displaystyle K_{n}=(p^{n}-1)(p^{n-1}-1)\cdot \ldots \cdot (p-1)}$^[2].

Группа ${\displaystyle GL(A)}$ транзитивно действует на множестве ${\displaystyle A\setminus \{0\}}$ (как и в общем случае векторного пространства над произвольным полем). Оказывается, это свойство характеризует элементарные абелевы группы среди конечных групп, а именно: если группа автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ конечной группы ${\displaystyle G}$ транзитивно действует на множестве ${\displaystyle A\setminus \{e\}}$ (где ${\displaystyle e}$ — единица группы ${\displaystyle G}$), то ${\displaystyle G}$ — элементарная абелева группа. [Схема доказательства. Можно считать, что ${\displaystyle G\neq \{e\}}$. Из транзитивности действия ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ на ${\displaystyle G\setminus \{e\}}$ легко следует, что все неединичные элементы группы ${\displaystyle G}$ имеют один и тот же (необходимо простой) порядок ${\displaystyle p}$. Таким образом, ${\displaystyle G}$ — p-группа. Центр ${\displaystyle Z(G)}$ нетривиальной p-группы нетривиален^[7] и (как и для произвольной группы) инвариантен относительно всех автоморфизмов, поэтому, в силу транзитивности действия ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ на ${\displaystyle G\setminus \{e\}}$, он совпадает с ${\displaystyle G}$.]

Говорят, что конечная абелева группа имеет тип ${\displaystyle (p_{1}^{k_{1}},p_{2}^{k_{2}},\ldots ,p_{n}^{k_{n}})}$, если она изоморфна прямой сумме

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p_{1}^{k_{1}}}\oplus \mathbb {Z} _{p_{2}^{k_{2}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{p_{n}^{k_{n}}}}$

циклических групп ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p_{i}^{k_{i}}}=\mathbb {Z} /p_{i}^{k_{i}}\mathbb {Z} }$, где ${\displaystyle p_{i}}$ — (необязательно различные) простые числа и ${\displaystyle k_{i}\geqslant 1}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots n}$. (В силу теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп такое представление существует и единственно с точностью до перестановки набора чисел ${\displaystyle p_{1}^{k_{1}},p_{2}^{k_{2}},\ldots ,p_{n}^{k_{n}}}$.) В частности, любая конечная абелева p-группа имеет тип ${\displaystyle (p^{k_{1}},p^{k_{2}},\ldots ,p^{k_{n}})}$, а конечные элементарные абелевы p-группы — это в точности абелевы группы типа ${\displaystyle (p,p,\ldots ,p)}$. Конечная абелева группа, имеющая тип ${\displaystyle (p^{k},p^{k},\ldots ,p^{k})}$, называется гомоциклической^[8]; такая группа, очевидно, является p-группой. Каждая элементарная абелева группа является гомоциклической.