Группа Фробениуса

Пусть G — группа Фробениуса, состоящая из перестановок множества X.

• Подгруппа H в G, фиксирующая точку, называется дополнением Фробениуса.

• Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в одну группу сопряжённую с H, образуют нормальную подгруппу K, называемую ядром Фробениуса.

• Группа Фробениуса G является полупрямым произведением ядра K и дополнения H:

  ${\displaystyle G=K\rtimes H}$.

• Ядро Фробениуса является нильпотентной группой.

• Если дополнение H имеет чётный порядок, то ядро K абелево.

• Дополнение каждая подгруппа дополнения, порядок которой равен произведению 2 простых чисел, является циклической.
  • Это означает, что её силовские подгруппы являются циклическими или обобщенными группами кватернионов.

• Любая группа, такая, что все подгруппы Силова циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой. Это означает, что она является расширением двух циклических групп.

• Если дополнение H неразрешимо, то оно имеет нормальную подгруппу с индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка, равного 30.
  • В частности, если дополнение Фробениуса совпадает с его производной подгруппой, то оно изоморфно SL(2,5).

• Если дополнение разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу, такую, что частное является подгруппой симметричной группы ${\displaystyle S_{4}}$.

• Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором элементы неидентичной группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых фиксированных точек.

• Самый маленький пример — симметричная группа ${\displaystyle S_{3}}$, состоящая из 6 элементов. Ядро Фробениуса имеет порядок 3, а дополнение порядок 2.

• Для каждого конечного поля ${\displaystyle F_{q}}$ с ${\displaystyle q>2}$ элементами группа обратимых аффинных преобразований, естественно действующих на F q, является группой Фробениуса.
  • Предыдущий пример соответствует случаю ${\displaystyle F_{3}}$ — полю с тремя элементами.

• Отождествляя Плоскость Фано × ^{с плоскостью Фано, σ можно считать ограничением} автоморфизма Фробениуса σ (x) = x2 из F 8, а τ - умножением на любой элемент, отличный от 0 или 1 (т.е. генератор циклической мультипликативной группы из F 8). Эта группа Фробениуса действует _{просто транзитивно}^×флаг в плоскости Фано, то есть на линиях с отмеченными точками.Двугранная группа порядка 2 n с n нечетным числом является группой Фробениуса с дополнением порядка 2.
• В более общем плане, если K - любая абелева группа нечетного порядка, а H имеет порядок 2 и действует на K путем инверсии, то полупрямое произведение K.H является группой Фробениуса.Многие другие примеры могут быть сгенерированы с помощью следующих конструкций.
• Если мы заменим дополнение Фробениуса к группе Фробениуса нетривиальной подгруппой, мы получим другую группу Фробениуса. Если у нас есть две группы Фробениуса K 1.Н _и К 2.H тогда (_K 1 × K 2).H также является группой Фробениуса.Если K - неабелева группа порядка 7 3 с показателем 7, а H - циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса G, которая является расширением K.H из H на K.
• Это дает пример группы Фробениуса с неабелевым ядром. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (она была построена Отто Шмидтом).Если H - группа SL 2 (F 5) порядка 120, она свободно действует в фиксированной точке в 2-мерном векторном пространстве K над полем с 11 элементами.
• Расширение K.H является наименьшим примером _{неразрешимой} группы Фробениуса.Подгруппа группы Зассенхауса, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.
• Группы Фробениуса, подгруппа подгонки которых имеет сколь угодно большой класс нильпотентности, были построены Ито: пусть q - простая степень, d - положительное целое число, а p - простой делитель q -1 с d ≤ p.
• Исправьте некоторое поле F порядка q и некоторый элемент z этого поля порядка p−Дополнение Фробениуса H - это циклическая подгруппа, порожденная диагональной матрицей, i, i-й элемент которой равен z i. Ядро Фробениуса K - это силовская q-подгруппа GL (^d, q), состоящая из верхних треугольных матриц с единицами на диагонали. Ядро K имеет класс нильпотентности d-1, а полупрямое произведение KH является группой Фробениуса.

Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса G могут быть считаны из представлений H и K. Существует два типа неприводимых представлений G:

• Любое неприводимое представление R из H дает неприводимое представление G с использованием отображения факторов из G в H (то есть как ограниченное представление). Они дают неприводимые представления G с K в их ядре.Если S - любое нетривиальное неприводимое представление K, то соответствующее индуцированное представление G также неприводимо.
• Они дают неприводимые представления G с K, отсутствующими в их ядре.

Существует ряд теоретических свойств группы, которые интересны сами по себе, но которые оказываются эквивалентными группе, обладающей представлением перестановки, что делает ее группой Фробениуса.

• G является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда G имеет собственную подгруппу неидентичности H, такую, что H∩∩ hg является подгруппой идентичности для каждого g ∈ G − H, т.е. H - ненормальная подгруппа G.

Затем это определение обобщается на изучение тривиальных множеств пересечений, что позволило распространить результаты о группах Фробениуса, используемых при классификации групп CA, на результаты о группах CN и, наконец, на теорему нечетного порядка.

Предполагая, что ${\displaystyle G=K\rtimes H}$это полупрямое произведение нормальной подгруппы K и дополнения H, тогда следующие ограничения на централизаторы эквивалентны тому, что G является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса H:

• Централизатор Cg(k) является подгруппой K для каждой неидентичности k в K.C H(k) = 1 для каждой неидентичности k в K.
• _C G(h) ≤ H для каждой неидентичности h в H.

• Berl. Ber. 
• B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, AMS Chelsea 1976
• D. S. Passman, Permutation groups, Benjamin 1968
• Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874