Случайная нечёткая переменная

Случайная нечёткая переменная определяется как нечёткая переменная второго типа, удовлетворяющая следующим условиям:^[11]

• И внутреннюю, и внешнюю функции переменной можно однозначно определить.
• Обе функции моделируются как распределения возможности (possibility distributions, PD).
• Для одного и того же диапазона переменных обе функции имеют максимум возможности.

На рисунке выше внешняя функция принадлежности — синяя кривая, внутренняя — красная. Обе функции являются распределениями возможности; обе имеют значение принадлежности 1 только на прямоугольной части — таким образом выполняются перечисленные три условия.

Если в измерениях присутствуют только систематические ошибки, случайная нечёткая переменная вырождается в обычную нечёткую переменную с одной внутренней функцией. При отсутствии систематической погрешности она также сводится к нечёткой переменной, отражающей только рандомный вклад.

Случайная нечёткая переменная строится на основе внутреннего распределения возможности (r_internal) и случайного распределения возможности (r_random).

r_random — распределение возможности случайных (рандомных) вкладов в неопределённость. Любой измерительный прибор или процедура испытывает влияние случайных ошибок из-за внутреннего шума и других эффектов.

В случае суммы нескольких независимых ошибок, распределение приближается к нормальному согласно центральной предельной теореме^[12].

Существуют и другие источники случайных вкладов, например, равномерное распределение, гамма-распределение и др.

Вероятностное распределение получается по данным измерений; затем из него строится эквивалентное распределение возможности по методу максимально специфичной трансформации вероятность-возможность^[13].

Примеры вероятностных и соответствующих им распределений возможности:

Треугольное распределение: вероятность и возможность

r_internal — внутреннее распределение случайной нечёткой переменной, отражающее распределение возможности систематической составляющей. Это распределение строится исходя из имеющейся информации о приборе и процедуре.

Наиболее общим является равномерное (прямоугольное) распределение возможности. Оно означает, что все значения в заданном диапазоне равновозможны — такое распределение отражает состояние полной неопределённости согласно теории доказательств Демпстера — Шафера^[14], что соответствует ситуации максимального недостатка информации.

Равномерное распределение принято использовать, когда о систематической ошибке известно лишь, что она попадает в некий интервал.

Если для значений есть различные степени уверенности (belief), строится соответствующее распределение возможности.

Построив случайное и внутреннее распределения, используют следующее соотношение для внешней функции принадлежности (r_external):^[15]

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(x-x^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

где ${\displaystyle x^{*}}$ — мода распределения ${\displaystyle r_{\textit {random}}}$, максимум функции принадлежности ${\displaystyle r_{random}}$, а T_min — минимальная треугольная норма^[16].

Случайную нечёткую переменную можно построить и с использованием α-сечений двух распределений возможности. α-сечение случайной нечёткой переменной имеет 4 границы и записывается как ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$^[11]. ${\displaystyle X_{a}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle X_{d}^{\alpha }}$ — нижняя и верхняя границы внешней функции; ${\displaystyle X_{b}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle X_{c}^{\alpha }}$ — нижняя и верхняя границы внутренней функции.

Для построения рассматривают α-сечения двух распределений (r_random и r_internal) для одного и того же α, получая для каждого из них интервалы ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$ и ${\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}$. Пусть ${\displaystyle x^{*}}$ — мода. Тогда:

${\displaystyle X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })}$

${\displaystyle X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

Повторяя вычисления для всех α ∈ [0, 1], строят итоговый вид случайной нечёткой переменной.

Случайная нечёткая переменная позволяет получить полную картину вклада случайных и систематических ошибок в итоговую неопределённость при любом заданном уровне доверия, который равен 1-α^[17][18].

Пример построения внешней функции принадлежности (r_external) и случайной нечёткой переменной по внутреннему и случайному распределениям приведён на рисунке:

Построение внешней функции принадлежности и случайной нечёткой переменной на основе внутренних и случайных распределений возможности