Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения^[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g}}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$, называется гармоническим уравнением:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0}$,

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» ${\displaystyle x=L\sin \theta \approx L\theta }$ (ось ${\displaystyle x}$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]:

${\displaystyle x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )}$,

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда колебаний маятника, ${\displaystyle \alpha }$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной ${\displaystyle x}$, то при ${\displaystyle t=0}$ необходимо задать координату ${\displaystyle x_{0}}$ и скорость ${\displaystyle v_{x0}}$, что позволит найти две независимые константы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \alpha }$ из соотношений ${\displaystyle x_{0}=A\sin \alpha }$ и ${\displaystyle v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha }$.

Пружи́нный ма́ятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по формуле

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

${\displaystyle ma=-kx\iff {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}$.

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=f(t)}$,

где f(t) — равнодействующая внешних сил, отнесённая к единице массы груза, ${\displaystyle t}$ — время.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {c}{m}}{\dot {x}}+{\frac {k}{m}}x=f(t)}$