Сапог Шварца

В первой половине XIX века понятие площади поверхности в учебниках часто определялось по прямой аналогии с длиной кривой. Длину гладкой кривой можно корректно вычислить как предел длин вписанных ломаных при стремлении максимальной длины звена к нулю. Казалось очевидным, что площадь гладкой поверхности можно определить как предел площадей вписанных многогранных поверхностей при аналогичном измельчении (стремлении к нулю максимального диаметра граней). Именно такое определение фигурировало, в частности, в авторитетном учебнике Жозефа Альфреда Серре «Cours de calcul différentiel et intégral» (1-е изд. 1868)^[4].

Серре утверждал, что при неограниченном измельчении триангуляции площадь вписанного многогранника всегда стремится к площади исходной поверхности. Никаких дополнительных ограничений на форму или вытянутость граней не налагалось. Аналогичные определения встречались у Жозефа Бертрана, Огюстена Коши и в ряде других французских и немецких учебников того времени. Интуитивная очевидность этого определения казалась столь же незыблемой, как и аксиомы Евклида.

История открытия сапога Шварца тесно связана с перепиской математиков. В 1880 году бельгийский математик Шарль Эрмит заметил подозрительное место в определении площади и обратился за разъяснениями к Шварцу. Шварц, изучив вопрос, обнаружил ошибку и сконструировал контрпример.

Сам Шварц не сразу опубликовал этот результат в виде отдельной статьи; он изложил его своим студентам в Берлинском университете, в том числе французскому математику Жюлю Таннери. Таннери опубликовал конструкцию в 1882 году в журнале Nouvelles Annales de Mathématiques под красноречивым заголовком «Об ошибочном определении площади кривой поверхности»^[5]. Позднее Шварц включил этот пример в своё фундаментальное собрание сочинений^[6].

Независимо от Шварца аналогичные наблюдения сделал Джузеппе Пеано в 1882 году^[7], а также подробно разобрал парадоксы аппроксимации площади в своей книге 1887 года^[8]. Пеано, в частности, указал, что парадокс возникает из-за того, что нормали к граням многогранника не сходятся к нормали предельной поверхности. После работ Шварца и Пеано стало ясно, что наивное определение площади некорректно. Серре был вынужден исправить свой учебник в последующих изданиях (начиная с 4-го, 1879 года).

Контрпример привёл к тому, что математики осознали, что интуитивные геометрические определения, казавшиеся очевидными, могут таить в себе логические ловушки. Это открытие стало одним из стимулов к аксиоматизации математики на рубеже XIX—XX веков. Анри Лебег, создавая свою теорию меры, прямо отталкивался от парадокса Шварца. В своей диссертации 1902 года он писал, что необходимость строгого определения площади поверхности была одной из главных мотиваций его работы^[9].

Классическая конструкция строится на боковой поверхности прямого кругового цилиндра радиуса ${\displaystyle R}$ и высоты ${\displaystyle H}$. 1. Высоту цилиндра делят на ${\displaystyle n}$ равных частей горизонтальными плоскостями. Получается ${\displaystyle n+1}$ горизонтальных окружностей (слоёв). 2. В каждую окружность вписывают правильный ${\displaystyle m}$-угольник. 3. Соседние (по высоте) многоугольники поворачивают друг относительно друга на угол ${\displaystyle \pi /m}$, так что вершины верхнего многоугольника оказываются точно над серединами сторон нижнего. 4. Соединяя вершины верхнего и нижнего многоугольников треугольниками, получают многогранную «гармошку» из ${\displaystyle 2mn}$ треугольных граней. Полученный многогранник:

• полностью вписан в цилиндр (все вершины лежат на поверхности);
• при ${\displaystyle m,n\to \infty }$ максимальный диаметр любой грани стремится к нулю (многогранник равномерно сходится к цилиндру);
• внешне напоминает бумажный фонарик или голенище сапога-гармошки, откуда и происходят его названия.

Удобная для практических расчётов параметризация конструкции была приведена А. В. Сетухой^[10].

Рассмотрим боковую поверхность цилиндра, заданную в декартовой системе координат ${\displaystyle Oxyz}$ уравнением

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},\quad 0\leqslant z\leqslant H.}$

Проведём на поверхности цилиндра ${\displaystyle n+1}$ горизонтальных окружностей ${\displaystyle z=z_{i}}$, где

${\displaystyle z_{i}=ih,\quad h={\frac {H}{n}},\quad i=0,1,\ldots ,n.}$

На каждой окружности с номером ${\displaystyle i}$ построим систему из ${\displaystyle m}$ точек ${\displaystyle M_{ij}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$, по следующему правилу:

• если ${\displaystyle i}$ чётное, то

${\displaystyle M_{ij}=\left(R\cos \varphi _{j},\;R\sin \varphi _{j},\;z_{i}\right),\quad \varphi _{j}=j\,\Delta \varphi ,\quad \Delta \varphi ={\frac {2\pi }{m}};}$

• если ${\displaystyle i}$ нечётное, то

${\displaystyle M_{ij}=\left(R\cos \psi _{j},\;R\sin \psi _{j},\;z_{i}\right),\quad \psi _{j}=\varphi _{j}+{\frac {\Delta \varphi }{2}}.}$

Таким образом, на нижней окружности размещается ${\displaystyle m}$ точек, далее эта окружность ${\displaystyle n}$ раз смещается вверх на высоту ${\displaystyle h}$, причём при каждом таком смещении происходит поворот на половину шага ${\displaystyle \Delta \varphi /2}$. Соединяя каждую точку ${\displaystyle M_{ij}}$ с ближайшими точками на соседних окружностях, получаем систему из ${\displaystyle 2mn}$ конгруэнтных треугольников, образующих триангуляцию поверхности.

Конструкция сапога Шварца допускает множество обобщений и модификаций.

Сапог на сфере. Аналогичную конструкцию можно построить на сфере. Для этого сферу разбивают на горизонтальные слои параллельными плоскостями, в каждое сечение вписывают правильный многоугольник и соединяют вершины соседних слоёв треугольниками. Парадокс сохраняется: при определённом соотношении параметров площадь аппроксимирующего многогранника стремится к бесконечности, хотя сам многогранник сходится к сфере^[11].

Сапог на конусе и торе. Конструкция переносится на любую гладкую поверхность вращения. На торе, в частности, возникают дополнительные технические сложности из-за внутренней и внешней частей поверхности, но принципиальный результат остаётся тем же.

Асимметричные варианты. Можно поворачивать соседние слои не на ${\displaystyle \pi /m}$, а на произвольный угол ${\displaystyle \alpha _{m}}$, зависящий от ${\displaystyle m}$. При подходящем выборе ${\displaystyle \alpha _{m}}$ парадокс также возникает.

Многоугольники вместо треугольников. Вместо треугольных граней можно использовать четырёхугольные или вообще произвольные многоугольники. Суть парадокса от этого не меняется.

Выпуклые аппроксимации. Если требовать, чтобы аппроксимирующие многогранники были выпуклыми, парадокс Шварца исчезает: для выпуклых тел площади вписанных выпуклых многогранников сходятся к площади исходного выпуклого тела. Это классический результат, восходящий к работам Германа Минковского^[12].

Все ${\displaystyle 2mn}$ треугольников конгруэнтны в силу симметрии, поэтому достаточно вычислить площадь одного.

Основание треугольника — это хорда окружности радиуса ${\displaystyle R}$, стягивающая угол ${\displaystyle 2\pi /m}$: :${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{m}}.}$

Вершина треугольника (противоположная основанию) расположена в соседнем слое, над серединой основания. Найдём расстояние от неё до середины основания (высоту треугольника ${\displaystyle h}$). Середина основания (хорды) находится на расстоянии от оси цилиндра: :${\displaystyle r_{\text{mid}}=R\cos {\frac {\pi }{m}}.}$ Вершина находится на расстоянии ${\displaystyle R}$ от оси. Радиальное смещение: :${\displaystyle \Delta r=R-R\cos {\frac {\pi }{m}}=2R\sin ^{2}{\frac {\pi }{2m}}.}$ Вертикальное смещение между слоями: :${\displaystyle \Delta z={\frac {H}{n}}.}$ По теореме Пифагора «высота» треугольника: :${\displaystyle h={\sqrt {(\Delta z)^{2}+(\Delta r)^{2}}}={\sqrt {{\frac {H^{2}}{n^{2}}}+4R^{2}\sin ^{4}{\frac {\pi }{2m}}}}.}$

Площадь одного треугольника:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}ah=R\sin {\frac {\pi }{m}}{\sqrt {{\frac {H^{2}}{n^{2}}}+4R^{2}\sin ^{4}{\frac {\pi }{2m}}}}.}$

Умножая на количество треугольников (${\displaystyle 2mn}$), получаем полную площадь:

${\displaystyle S_{m,n}=2mnR\sin {\frac {\pi }{m}}{\sqrt {{\frac {H^{2}}{n^{2}}}+4R^{2}\sin ^{4}{\frac {\pi }{2m}}}}.}$

Используем разложения Тейлора при ${\displaystyle m\to \infty }$: :${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{m}}={\frac {\pi }{m}}-{\frac {\pi ^{3}}{6m^{3}}}+O\left({\frac {1}{m^{5}}}\right),}$ :${\displaystyle \sin ^{4}{\frac {\pi }{2m}}={\frac {\pi ^{4}}{16m^{4}}}+O\left({\frac {1}{m^{6}}}\right).}$ Подставляя эти приближения в формулу: :${\displaystyle S_{m,n}\approx 2mn\cdot R\cdot {\frac {\pi }{m}}\cdot {\sqrt {{\frac {H^{2}}{n^{2}}}+4R^{2}\cdot {\frac {\pi ^{4}}{16m^{4}}}}}=2\pi Rn{\sqrt {{\frac {H^{2}}{n^{2}}}+{\frac {\pi ^{4}R^{2}}{4m^{4}}}}}.}$ Внося ${\displaystyle n}$ под корень, получаем итоговую асимптотическую формулу: :${\displaystyle S_{m,n}\approx 2\pi R{\sqrt {H^{2}+{\frac {\pi ^{4}R^{2}n^{2}}{4m^{4}}}}}.}$ Обозначим параметр измельчения ${\displaystyle \lambda =\lim _{m,n\to \infty }{\frac {n}{m^{2}}}}$ (если этот предел существует).

Важно отметить, что двойного предела ${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }S_{m,n}}$ вообще не существует. Хотя для каждого фиксированного ${\displaystyle m}$ существует предел по ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{m,n}=2\pi RH\quad {\text{(для любого фиксированного }}m{\text{)}},}$

а затем существует предел по ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }S_{m,n}\right)=2\pi RH,}$

из этого нельзя заключить, что существует двойной предел. Причина в том, что сходимость ${\displaystyle S_{m,n}\to 2\pi RH}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ не является равномерной по ${\displaystyle m}$. Достаточно положить ${\displaystyle n=m^{2}}$, чтобы получить другое предельное значение. Это классический пример того, что повторные пределы могут существовать, а двойной — нет^[13].

Тогда ${\displaystyle n/m^{2}=1/m\to 0}$, и :${\displaystyle S_{m,n}\to 2\pi R{\sqrt {H^{2}+0}}=2\pi RH.}$ Это истинная площадь боковой поверхности цилиндра. Аппроксимация работает.

${\displaystyle S_{m,n}\to 2\pi R{\sqrt {H^{2}+{\frac {\pi ^{4}R^{2}C^{2}}{4}}}}.}$ Это значение строго больше ${\displaystyle 2\pi RH}$. Меняя константу ${\displaystyle C}$, можно получить любое наперёд заданное значение площади, превышающее истинное.

Тогда ${\displaystyle n^{2}/m^{4}=m^{2}\to \infty }$, и :${\displaystyle S_{m,n}\to +\infty .}$ Площадь многогранника растёт неограниченно, хотя сам многогранник сколь угодно плотно прижимается к цилиндру!

Более аккуратный анализ показывает, что при ${\displaystyle n=m^{3}}$ площадь растёт как :${\displaystyle S_{m,m^{3}}\sim {\frac {\pi ^{3}R^{2}}{2}}\cdot m\quad {\text{при }}m\to \infty .}$ То есть расходимость — линейная по ${\displaystyle m}$, а не какая-то более слабая.

А. В. Сетуха^[14] на основе анализа классической конструкции сформулировал две закономерности, объясняющие, почему площадь «сапога» растёт:

Эти две причины тесно связаны между собой.

• Расхождение нормалей. Нормали к плоским треугольным граням аппроксимирующего многогранника перестают быть близкими к нормали исходной гладкой поверхности. Суммарный эффект — появление множества микроскопических «складок», сильно наклонённых к касательной плоскости цилиндра.

Геометрически парадокс можно проследить через изменение угла между двумя соседними гранями многогранника, находящимися одна над другой. При увеличении ${\displaystyle n}$ (числа сторон) быстрее, чем ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ (числа слоёв), этот угол перестаёт стремиться к ${\displaystyle \pi }$ (развёрнутому углу, соответствующему гладкой поверхности), а вместо этого осциллирует или стремится к нулю. Грани многогранника образуют всё более острые «складки», что и приводит к аномальному росту площади^[15].

• Вырождение формы треугольников. В триангуляции появляются так называемые «игольчатые» ячейки — треугольники с очень малым углом. Отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной для таких треугольников неограниченно растёт, что нарушает условие Радо на качество сетки.

Именно вторая закономерность напрямую связывает парадокс Шварца с практической задачей построения расчётных сеток: при численном решении граничных интегральных уравнений аппроксимировать поверхностные интегралы по поверхности цилиндра и решать интегральное уравнение на его поверхности, используя триангуляцию с вырождающимися треугольниками, бессмысленно.

Причина парадокса кроется в форме треугольников. При быстром росте ${\displaystyle n}$ (например, ${\displaystyle n=m^{3}}$) треугольники становятся экстремально вытянутыми («игольчатыми»). Отношение их высоты к основанию стремится к нулю. Хотя каждый треугольник стягивается в точку, его нормаль перестаёт быть близкой к нормали цилиндра. Нормали к граням «фонаря» осциллируют и не сходятся к нормали предельной поверхности. Суммарная площадь этих множества микроскопических, но сильно наклонённых «складок» оказывается огромной. Точнее, угол ${\displaystyle \alpha _{m,n}}$ между нормалью к грани и нормалью к цилиндру удовлетворяет оценке: :${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{m,n}\sim {\frac {\pi ^{2}Rn}{2m^{2}}}.}$ При ${\displaystyle n=m^{3}}$ этот угол стремится к ${\displaystyle \pi /2}$, то есть грани становятся почти вертикальными, хотя их размер стремится к нулю!

С аналитической точки зрения, пример Шварца демонстрирует, что функционал площади не является непрерывным относительно равномерной сходимости поверхностей. Пусть ${\displaystyle S_{k}}$ — последовательность многогранников, равномерно сходящаяся к цилиндру ${\displaystyle S}$. Пример Шварца показывает, что: :${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\operatorname {Area} (S_{k})\neq \operatorname {Area} (S).}$

Более того, функционал площади является лишь нижнеполунепрерывным: для любой последовательности поверхностей, сходящейся к ${\displaystyle S}$, выполняется неравенство: :${\displaystyle \operatorname {Area} (S)\leq \liminf _{k\to \infty }\operatorname {Area} (S_{k}).}$ Площадь предельной поверхности не может быть меньше предела площадей аппроксимаций, но может быть строго меньше (или предел может равняться бесконечности).

Это свойство полунепрерывности снизу было доказано Леонидой Тонелли и играет ключевую роль в вариационном исчислении — именно оно гарантирует существование минимума у многих вариационных задач.

Парадокс Шварца — двумерный аналог хорошо известного одномерного факта: длина ломаной, аппроксимирующей отрезок, может не сходиться к длине отрезка. Классический пример — «пила» из зубцов, сходящаяся к горизонтальному отрезку равномерно, но имеющая постоянную длину, превышающую длину отрезка. Однако в одномерном случае длина кривой всё же корректно определяется как супремум длин всех вписанных ломаных, и этот супремум всегда конечен для спрямляемых кривых. В двумерном случае аналогичное определение через супремум площадей вписанных многогранников давало бы бесконечность для любой гладкой поверхности — что совершенно неприемлемо.

Если поверхность задана гладким отображением ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v):D\to \mathbb {R} ^{3}}$, её площадь определяется как интеграл от модуля векторного произведения частных производных: :${\displaystyle S=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|du,dv.}$ Это определение не опирается на многогранные аппроксимации и лишено парадоксов Шварца. Именно оно используется в большинстве учебников математического анализа.

Анри Лебег предложил определять площадь поверхности, заданной непрерывным отображением ${\displaystyle \mathbf {r} :D\to \mathbb {R} ^{3}}$, как:

${\displaystyle \operatorname {Area} _{\text{Lebesgue}}(S)=\inf \left\{\liminf _{k\to \infty }\operatorname {Area} (P_{k})\right\},}$

где инфимум берётся по всем последовательностям многогранных поверхностей ${\displaystyle P_{k}}$, сходящихся к ${\displaystyle S}$.

Лебег доказал, что для гладких поверхностей это определение совпадает с классическим интегральным. Более того, он показал, что площадь Лебега конечна тогда и только тогда, когда координатные функции отображения имеют ограниченное изменение (в подходящем смысле).

Тибор Радо в 1920—1930-х годах систематически исследовал условия, при которых площади вписанных многогранников сходятся к площади поверхности. Его главный результат можно сформулировать так: «Пусть ${\displaystyle S}$ — гладкая поверхность, а ${\displaystyle P_{k}}$ — последовательность вписанных многогранников, максимальный диаметр граней которых стремится к нулю. Тогда ${\displaystyle \operatorname {Area} (P_{k})\to \operatorname {Area} (S)}$ тогда и только тогда, когда нормали к граням ${\displaystyle P_{k}}$ сходятся (в подходящем смысле) к нормалям поверхности ${\displaystyle S}$»^[16].

На практике это условие проверяется через качество триангуляции. Вводится величина :${\displaystyle \Theta (P)=\sup _{\Delta \in P}{\frac {R_{\Delta }}{r_{\Delta }}},}$ где ${\displaystyle R_{\Delta }}$ и ${\displaystyle r_{\Delta }}$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ${\displaystyle \Delta }$. Если ${\displaystyle \Theta (P_{k})}$ ограничено, то площади сходятся. В фонаре Шварца ${\displaystyle \Theta (P_{k})\to \infty }$, что и приводит к парадоксу.

Герман Минковский предложил другое определение площади через объём ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности поверхности: :${\displaystyle \operatorname {Area} {\text{Minkowski}}(S)=\lim {\varepsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (S_{\varepsilon })}{2\varepsilon }},}$ где ${\displaystyle S_{\varepsilon }}$ — множество точек на расстоянии не более ${\displaystyle \varepsilon }$ от ${\displaystyle S}$. Это определение также свободно от парадоксов Шварца и естественно обобщается на выпуклые тела^[17].

Герберт Федерер в своём фундаментальном труде «Geometric Measure Theory» систематизировал все подходы к определению площади^[18]. Площадь определяется через двумерную меру Хаусдорфа или через понятие периметра по Де Джорджи, что позволяет корректно работать с поверхностями, имеющими изломы, сингулярности и даже фрактальную структуру.

Парадокс береговой линии, описанный Льюисом Ричардсоном и популяризованный Бенуа Мандельбротом, демонстрирует, что длина береговой линии зависит от масштаба измерения и может стремиться к бесконечности при измельчении линейки. Это одномерный аналог парадокса Шварца, связанный с фрактальной структурой берега.

Снежинка Коха — кривая бесконечной длины, ограничивающая область конечной площади. Это ещё один пример того, что наивные геометрические интуиции могут вести к парадоксам.

Кривая Пеано (1890) — непрерывное отображение отрезка на квадрат. Она демонстрирует, что размерность топологического образа может превышать размерность прообраза. Эта работа того же Пеано, который независимо от Шварца изучал парадоксы площади.

Теорема Банаха — Тарского (1924) показывает, что шар можно разбить на конечное число частей и собрать из них два шара того же радиуса. Этот парадокс связан с некорректностью наивного понятия «объёма» для произвольных множеств и привёл к созданию теории меры. Объединяющая идея всех этих парадоксов: наивные геометрические меры (длина, площадь, объём) требуют аккуратного аксиоматического определения.

В современной компьютерной графике и CAD-системах поверхности представляются в виде полигональных сеток (polygon mesh). Парадокс Шварца напрямую влияет на алгоритмы:

• Генерация сеток (mesh generation). Алгоритмы триангуляции (триангуляция Делоне, advancing front method) специально штрафуют создание вытянутых треугольников. Вводится метрика качества, например, минимальный угол треугольника должен быть не меньше заданного порога (обычно 20°-30°)^[20].
• Вычисление площадей и интегралов. При численном интегрировании по поверхности (например, в ray tracing для вычисления освещённости) использование вырожденных треугольников даёт колоссальную погрешность.
• Упрощение сеток (mesh simplification). Алгоритмы типа Garland-Heckbert контролируют не только геометрию, но и нормали, чтобы избежать артефактов типа фонаря Шварца.

В методе конечных элементов качество сетки критически важно для сходимости решения. Вытянутые элементы (slivers) приводят к:

• плохой обусловленности матриц системы;
• неверному вычислению градиентов и нормалей;
• артефактам типа фонаря Шварца при вычислении поверхностных интегралов.

Современные МКЭ-пакеты (ANSYS, Abaqus, COMSOL Multiphysics) имеют встроенные метрики качества сетки, напрямую восходящие к условию Радо.

При оцифровке рельефа (цифровые модели местности) парадокс Шварца проявляется в том, что слишком густая, но нерегулярная сетка точек может дать завышенную оценку площади склона. Это важно в экологии, гидрологии, сельском хозяйстве^[21].