Развёрнутой формой (англ.extensive form) игры называют её представление в виде дерева. Дерево состоит из вершин и соединяющих их рёбер. Вершины подразделяются на терминальные (конечные) и нетерминальные. Каждая нетерминальная вершина характеризуется множеством допустимых ходов и доступной для игрока информацией. Терминальные вершины сообщают о размере выигрыша, получаемого по их достижении.
В развёрнутой форме можно представить и игры неполной информации. В этом случае игра начинается с хода природы, то есть некого случайного события.
Конечная игра в развёрнутой форме — это структура
где:
— конечное дерево со множеством вершин , единственной начальной вершиной , множеством терминальных вершин (пусть есть множество нетерминальных вершин) и функцией ближайшего предшественника .
— множество возможных действий для каждого информационного множества ; эти множества образуют разбиение множества всех возможных действий .
разбиение множества действий, отображающее каждую вершину в единственное действию и удовлетворяющее условию
, ограничение для на биективно, и есть множество вершин, следующих за .
— конечное множество игроков, — специальный игрок «Природа», специфическое для игрока разбиение информационного множества . Пусть есть единственный игрок, совершающий ход в вершине .
— семейство распределений на множестве ходов природы.
Dresher M. (1961). The mathematics of games of strategy: theory and applications (Ch4: Games in extensive form, pp74-78). Rand Corp. ISBN 0-486-64216-X
Fudenberg D and Tirole J. (1991) Game theory (Ch3 Extensive form games, pp67-106). Mit press. ISBN 0-262-06141-4
Luce R. D. and Raiffa H. (1957). Games and decisions: introduction and critical survey. (Ch3: Extensive and Normal Forms, pp39-55). Wiley New York. ISBN 0-486-65943-7
Osborne MJ and Rubinstein A. 1994. A course in game theory (Ch6 Extensive game with perfect information, pp. 89-115). MIT press. ISBN 0-262-65040-1