Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство, одно из базовых пространств последовательностей, состоит из бесконечных последовательностей чисел ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$ для которых ряд:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}}$

сходится и в котором определено расстояние ${\displaystyle \rho (x,y)}$ между двумя точками ${\displaystyle x,y}$ как ^[1]:

${\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$.

Стандартное обозначение — ${\displaystyle \ell ^{2}}$^[1]. Единственное из пространств последовательностей ${\displaystyle \ell ^{p}}$, являющееся гильбертовым.

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством:

${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+y_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$, ${\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$.

Скалярное произведение:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$.

Норма в таком пространстве определяется как:

${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2}}}}$.

Примеры:

• бесконечные последовательности вида ${\displaystyle x=(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots )}$ входят в ${\displaystyle \ell ^{2}}$, так как ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ сходится;
• коэффициенты ряда Фурье ${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$ таковы, что ${\displaystyle ({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n},\dots )\in \ell ^{2}}$, что следует из неравенства Бесселя.

Любое евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является подпространством пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$, что следует из возможности представления его точек в виде ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},0,0,\dots )}$.

Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга, использующей пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$, и волновой механики Шрёдингера, использующей изоморфное ему гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}}$^[2].

Пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$ иногда называют координатным гильбертовым пространством^[1].