Применение неравенства о среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом

Пусть ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ — каноническое разложение натурального числа ${\displaystyle n}$ на простые множители. Рассмотрим основные арифметические функции, оцениваемые с помощью AM-GM^[3].

Функция числа делителей ${\displaystyle \tau (n)=d(n)}$ выражается через показатели разложения формулой:

${\displaystyle \tau (n)=\prod _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1).}$

По неравенству AM-GM, применённому к положительным числам ${\displaystyle \alpha _{i}+1}$:

${\displaystyle \tau (n)^{1/k}=\left(\prod _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)\right)^{1/k}\leqslant {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)={\frac {\Omega (n)}{k}}+1,}$

где ${\displaystyle \Omega (n)=\sum \alpha _{i}}$ — число простых делителей с учётом кратности. Следовательно:

${\displaystyle \tau (n)\leqslant \left({\frac {\Omega (n)}{k}}+1\right)^{k}\leqslant \left({\frac {\Omega (n)+k}{k}}\right)^{k}.}$

В частности, если ${\displaystyle n\leqslant x}$, то ${\displaystyle \Omega (n)\leqslant \log _{2}x}$, что даёт оценку ${\displaystyle \tau (n)}$.

Более точная оценка достигается при фиксированном ${\displaystyle \Omega (n)=m}$: произведение ${\displaystyle \prod (\alpha _{i}+1)}$ при ${\displaystyle \sum \alpha _{i}=m}$ максимально, когда все ${\displaystyle \alpha _{i}=m/k}$, то есть когда ${\displaystyle n=p_{1}^{m/k}\cdots p_{k}^{m/k}}$ — «равномерно составное» число. Это объясняет, почему высокосоставные числа (числа с рекордным значением ${\displaystyle \tau (n)}$) имеют показатели степеней, убывающие как можно медленнее.

Пример. Оценим ${\displaystyle \tau (n)}$ для числа ${\displaystyle n=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5=360}$. Здесь ${\displaystyle k=3}$, ${\displaystyle \Omega (n)=6}$. Фактическое значение: ${\displaystyle \tau (360)=4\cdot 3\cdot 2=24}$. По AM-GM: ${\displaystyle \tau (360)\leqslant \left({\frac {4+3+2}{3}}\right)^{3}=3^{3}=27.}$ Оценка неострая, но демонстрирует принцип.

Функция суммы делителей ${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$ мультипликативна и выражается через разложение:

${\displaystyle \sigma (n)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.}$

По AM-GM для каждого множителя:

${\displaystyle {\frac {p^{\alpha +1}-1}{p-1}}=1+p+\cdots +p^{\alpha }\geqslant (\alpha +1)\,p^{\alpha /2},}$

поскольку геометрическое среднее слагаемых ${\displaystyle 1,p,p^{2},\ldots ,p^{\alpha }}$ равно ${\displaystyle p^{(0+1+\cdots +\alpha )/(\alpha +1)}=p^{\alpha /2}}$, а их арифметическое среднее не меньше геометрического:

${\displaystyle {\frac {1+p+\cdots +p^{\alpha }}{\alpha +1}}\geqslant p^{\alpha /2}.}$

Следовательно:

${\displaystyle \sigma (n)\geqslant \prod _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)\,p_{i}^{\alpha _{i}/2}=\tau (n)\cdot n^{1/2},}$

то есть ${\displaystyle \sigma (n)\geqslant \tau (n){\sqrt {n}}}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое ${\displaystyle p_{i}^{\alpha _{i}}}$ является полным квадратом и все слагаемые в каждой прогрессии равны, то есть при ${\displaystyle n=1}$.

Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ считает количество целых чисел от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$, взаимно простых с ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

Из AM-GM следует, что для любого набора простых ${\displaystyle p_{1}<\cdots <p_{k}}$:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)\geqslant 1-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}},}$

(неравенство Вейерштрасса, частный случай AM-GM), что даёт нижнюю оценку ${\displaystyle \varphi (n)}$.

Более тонкая оценка связывает ${\displaystyle \varphi (n)}$ и ${\displaystyle \tau (n)}$. По AM-GM для попарных произведений:

${\displaystyle \varphi (n)\,\tau (n)\geqslant n\cdot {\frac {\tau (n)}{2}}\cdot {\frac {2\varphi (n)}{\tau (n)}}\geqslant n,}$

а точное соотношение:

${\displaystyle \varphi (n)\geqslant {\frac {\sqrt {n}}{\,2\,}}}$

для всех ${\displaystyle n\geqslant 6}$^[4].

При суммировании по ${\displaystyle n\leqslant x}$ неравенство AM-GM позволяет связывать средние значения разных функций. Например, из ${\displaystyle \sigma (n)\geqslant \tau (n){\sqrt {n}}}$ суммируя по ${\displaystyle n\leqslant x}$:

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\sigma (n)\geqslant \sum _{n\leqslant x}\tau (n){\sqrt {n}}\geqslant {\sqrt {\,{\overline {n}}\,}}\sum _{n\leqslant x}\tau (n),}$

где на последнем шаге применено неравенство между средними для суммы^[5].

Пусть ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}>0}$. Определим элементарные симметрические функции:

${\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}},\quad e_{0}=1,}$

и нормированные средние:

${\displaystyle E_{k}={\frac {e_{k}}{\dbinom {n}{k}}}.}$

Величина ${\displaystyle E_{k}}$ есть среднее значение произведений всех наборов из ${\displaystyle k}$ элементов, то есть средняя ${\displaystyle k}$-я элементарная функция.

Неравенства Маклорена утверждают, что последовательность нормированных средних ${\displaystyle E_{k}^{1/k}}$ убывает:

${\displaystyle E_{1}\geqslant E_{2}^{1/2}\geqslant E_{3}^{1/3}\geqslant \cdots \geqslant E_{n}^{1/n},}$

причём левый конец — это арифметическое среднее, а правый — геометрическое среднее^[6]:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geqslant (x_{1}\cdots x_{n})^{1/n}.}$

Таким образом, неравенство AM-GM — это частный случай неравенств Маклорена при ${\displaystyle k=1}$ и ${\displaystyle k=n}$.

Доказательство крайних членов. Крайнее левое неравенство ${\displaystyle E_{1}\geqslant E_{2}^{1/2}}$ эквивалентно:

${\displaystyle \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)^{2}\geqslant {\frac {\sum _{i<j}x_{i}x_{j}}{\dbinom {n}{2}}},}$

что раскрывается в неравенство ${\displaystyle \sum _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\geqslant 0}$.

Неравенства Ньютона для нормированных симметрических средних утверждают:

${\displaystyle E_{k}^{2}\geqslant E_{k-1}E_{k+1},\quad 1\leqslant k\leqslant n-1.}$

Для арифметических функций, таких как функция делителей ${\displaystyle \tau (n)}$ и сумма делителей ${\displaystyle \sigma (n)}$, неравенство AM-GM позволяет получать эффективные оценки^[7]. Например, для любого натурального ${\displaystyle n}$ с разложением ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$:

${\displaystyle \tau (n)=(\alpha _{1}+1)\cdots (\alpha _{k}+1)\leqslant \left({\frac {\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)}{k}}\right)^{k},}$

что следует из применения AM-GM к множителям ${\displaystyle \alpha _{i}+1}$.

Пусть ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — неотрицательные вещественные числа. Тогда для элементарных симметрических функций ${\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ справедливо неравенство Ньютона^[8]:

${\displaystyle {\frac {e_{k}^{2}}{{\binom {n}{k}}^{2}}}\geqslant {\frac {e_{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}\cdot {\frac {e_{k+1}}{\binom {n}{k+1}}},\quad 1\leqslant k\leqslant n-1,}$

доказательство которого опирается на неравенство между средними.

Классическая задача: найти максимум произведения ${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$ при условии ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=S}$, ${\displaystyle x_{i}>0}$.

Решение. По AM-GM: ${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}\;\Longrightarrow \;x_{1}\cdots x_{n}\leqslant \left({\frac {S}{n}}\right)^{n}.}$ Равенство достигается при ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{n}={\dfrac {S}{n}}}$. Эта задача лежит в основе многих экстремальных задач комбинаторной оптимизации^[9].

Неравенство AM-GM используется при исследовании сходимости. Если положительный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, то его частичные суммы ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$ ограничены, а значит, по AM-GM:

${\displaystyle {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdots a_{N}}}\leqslant {\frac {a_{1}+\cdots +a_{N}}{N}}={\frac {S_{N}}{N}}\to 0,}$

поскольку ${\displaystyle S_{N}\to S<\infty }$, а ${\displaystyle N\to \infty }$. Таким образом, геометрическое среднее первых ${\displaystyle N}$ слагаемых стремится к нулю^[10].

Для бесконечных произведений ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$, ${\displaystyle a_{n}>0}$, неравенство AM-GM позволяет установить связь со сходимостью ряда ${\displaystyle \sum a_{n}}$.

Для интегрируемой положительной функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ справедливо интегральное обобщение AM-GM^[11]:

${\displaystyle \exp \!\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right)\leqslant {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Это неравенство применяется в теории пространств ${\displaystyle L^{p}}$ и при доказательстве неравенства Гёльдера.

• Неравенство Гёльдера:

для ${\displaystyle p,q>1}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$: ${\displaystyle \sum _{k}|a_{k}b_{k}|\leqslant {\Bigl (}\sum _{k}|a_{k}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\sum _{k}|b_{k}|^{q}{\Bigr )}^{1/q}.}$ Доказательство использует взвешенное AM-GM для нормированных величин ${\displaystyle {\dfrac {|a_{k}|^{p}}{\|a\|_{p}^{p}}}}$ и ${\displaystyle {\dfrac {|b_{k}|^{q}}{\|b\|_{q}^{q}}}}$^[12].

• Неравенство Минковского: следует из неравенства Гёльдера и, следовательно, косвенно опирается на AM-GM.

AM-GM позволяет находить экстремумы выражений без использования дифференциального исчисления, что особенно ценно в задачах с ограничениями^[13].

Найти минимум ${\displaystyle f(x)=x+{\dfrac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x>0}$.

Решение. По AM-GM: ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2{\sqrt {x\cdot {\frac {1}{x}}}}=2,}$ причём равенство достигается при ${\displaystyle x=1}$. Следовательно, ${\displaystyle f_{\min }=2}$.

Найти минимум ${\displaystyle f(a,b,c)={\dfrac {a}{b}}+{\dfrac {b}{c}}+{\dfrac {c}{a}}}$ при ${\displaystyle a,b,c>0}$.

Решение. Применим AM-GM: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\geqslant 3{\sqrt[{3}]{{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}}}=3.}$ Равенство достигается при ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}={\dfrac {b}{c}}={\dfrac {c}{a}}}$, то есть при ${\displaystyle a=b=c}$.

Пусть ${\displaystyle x+y=10}$, ${\displaystyle x,y>0}$. Найти максимум ${\displaystyle xy}$.

Решение. По AM-GM: ${\displaystyle {\sqrt {xy}}\leqslant {\frac {x+y}{2}}=5\;\Longrightarrow \;xy\leqslant 25.}$ Максимум достигается при ${\displaystyle x=y=5}$.

В задачах геометрического программирования неравенство AM-GM используется для работы с нелинейными ограничениями вида ${\displaystyle \prod x_{i}^{a_{i}}\leqslant C}$: переход к логарифмам сводит задачу к выпуклой, что обосновывается применением AM-GM и выпуклого анализа^[14].

Для дискретного распределения вероятностей ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ (энтропия Шеннона):

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log p_{i}.}$

Неравенство AM-GM используется при доказательстве того, что энтропия максимальна для равномерного распределения:

${\displaystyle H\leqslant \log n,}$

причём равенство при ${\displaystyle p_{i}={\dfrac {1}{n}}}$. Доказательство опирается на неравенство ${\displaystyle \ln x\leqslant x-1}$ (следствие AM-GM для двух слагаемых), откуда получается неотрицательность дивергенции Кульбака — Лейблера относительно равномерного распределения^[15].

В теории кодирования неравенство Крафта ${\displaystyle \sum _{i}2^{-l_{i}}\leqslant 1}$ для длин кодовых слов ${\displaystyle l_{i}}$ доказывается с применением выпуклости логарифма, тесно связанной с AM-GM^[16].

Неотрицательность дивергенции Кульбака — Лейблера:

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)=\sum _{i}p_{i}\log {\frac {p_{i}}{q_{i}}}\geqslant 0}$

следует из неравенства ${\displaystyle \ln x\leqslant x-1}$ (применяемого с ${\displaystyle x=q_{i}/p_{i}}$), которое выводится из AM-GM^[17].

• Параллельное соединение сопротивлений: эквивалентное сопротивление ${\displaystyle R_{\text{eq}}}$ для ${\displaystyle n}$ параллельных резисторов определяется формулой ${\displaystyle {\dfrac {1}{R_{\text{eq}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{R_{i}}}}$, откуда ${\displaystyle R_{\text{eq}}}$ равно среднему гармоническому сопротивлений, делённому на ${\displaystyle n}$. По AM-HM: ${\displaystyle R_{\text{eq}}\leqslant {\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}}$^[18].

• Мощность в цепях переменного тока: при оптимизации передачи энергии используется неравенство между средними для согласования нагрузок.

• Неравенство для свободной энергии: в статистической механике неравенство ${\displaystyle \langle e^{X}\rangle \geqslant e^{\langle X\rangle }}$ (следствие неравенства Йенсена для выпуклой функции ${\displaystyle e^{x}}$, связанного с AM-GM) используется в вариационных принципах^[19].

• Оценки статистических сумм: для канонического ансамбля ${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}$ неравенство между средними позволяет получать границы для термодинамических величин.

• Оптимальное распределение напряжений: при проектировании конструкций неравенство AM-GM применяется для минимизации максимальных напряжений при заданном объёме материала.

• Задача о брахистохроне: в некоторых формулировках используется оценка времени движения через средние значения скорости.

• Средняя доходность: для последовательности доходностей ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ геометрическое среднее даёт корректную оценку совокупной доходности: ${\displaystyle (1+r_{\text{geom}})^{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i}),}$ причём ${\displaystyle r_{\text{geom}}\leqslant r_{\text{arith}}}$ по AM-GM, что объясняет, почему арифметическое среднее систематически завышает ожидаемую совокупную доходность^[20].

• Диверсификация портфеля: неравенство между средними обосновывает преимущество диверсификации: при определённых условиях дисперсия портфеля минимизируется при равномерном распределении активов.

В моделировании предпочтений неравенство AM-GM используется при доказательстве вогнутости функций полезности, что соответствует принципу убывающей предельной полезности.

Для неотрицательной случайной величины ${\displaystyle X}$ и показателей ${\displaystyle 0<r<s}$ справедливо неравенство между степенными средними^[22]:

${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {E} [X^{r}]{\bigr )}^{1/r}\leqslant {\bigl (}\mathbb {E} [X^{s}]{\bigr )}^{1/s}.}$

Это утверждение является вероятностным аналогом неравенства о степенных средних и доказывается с помощью неравенства Йенсена для выпуклой функции ${\displaystyle x\mapsto x^{s/r}}$ при ${\displaystyle s/r>1}$.

Для независимых неотрицательных случайных величин ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \mathbb {E} [{\sqrt {XY}}]\leqslant {\sqrt {\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}}.}$

Доказательство. По AM-GM: ${\displaystyle {\sqrt {xy}}\leqslant {\dfrac {x+y}{2}}}$ для всех ${\displaystyle x,y\geqslant 0}$. Взяв математическое ожидание и используя независимость: ${\displaystyle \mathbb {E} [{\sqrt {XY}}]\leqslant {\frac {1}{2}}{\bigl (}\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]{\bigr )}.}$ Более точная оценка, дающая неравенство с геометрическим средним, получается применением неравенства Коши — Буняковского — Шварца^[23][24]: ${\displaystyle \mathbb {E} [{\sqrt {XY}}]=\mathbb {E} [{\sqrt {X}}\cdot {\sqrt {Y}}]\leqslant {\sqrt {\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}}.}$

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые одинаково распределённые положительные случайные величины с ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}]=\mu <\infty }$. Тогда по неравенству Йенсена для вогнутой функции ${\displaystyle \ln x}$:

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln X_{1}]\leqslant \ln \mathbb {E} [X_{1}]=\ln \mu ,}$

откуда, используя независимость и монотонность экспоненты:

${\displaystyle \mathbb {E} \!\left[{\sqrt[{n}]{X_{1}\cdots X_{n}}}\right]\leqslant \exp \!\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [\ln X_{i}]\right)=\exp(\mathbb {E} [\ln X_{1}])\leqslant \mathbb {E} [X_{1}]=\mu .}$

Здесь первое неравенство — это неравенство Йенсена для вогнутой функции ${\displaystyle e^{x}}$ (в обратную сторону), а второе — AM-GM в интегральной форме^[25].

Условие. Пусть ${\displaystyle X}$ — неотрицательная случайная величина с ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }$. Докажите, что для любого ${\displaystyle t>0}$: ${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant t)\leqslant {\frac {\mu }{t}}.}$

Решение. Это классическое Неравенство Маркова. Так как ${\displaystyle X\geqslant t\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant t\}}}$, взяв математическое ожидание: ${\displaystyle \mu =\mathbb {E} [X]\geqslant t\,\mathbb {P} (X\geqslant t),}$ откуда следует утверждение. Связь с AM-GM состоит в общем принципе: «большое отклонение маловероятно при малом среднем»^[26].

Условие. Дискретная случайная величина ${\displaystyle X}$ принимает значения ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ с вероятностями ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}>0}$, ${\displaystyle \sum p_{i}=1}$. Найдите распределение, максимизирующее ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}}$ (без дополнительных ограничений на ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$).

Решение. По AM-GM: ${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{1/n}\leqslant {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}={\frac {1}{n}},}$ причём равенство при ${\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}={\dfrac {1}{n}}}$. Следовательно, максимум ${\displaystyle \prod p_{i}=n^{-n}}$ достигается на равномерном распределении. При наличии ограничения ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }$ задача решается методом множителей Лагранжа, и оптимальное распределение имеет вид ${\displaystyle p_{i}\propto e^{\lambda i}}$ для некоторого ${\displaystyle \lambda }$.

Условие. Пусть ${\displaystyle X>0}$ — случайная величина, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ и ${\displaystyle \mathbb {E} [\ln X]}$ конечны. Докажите: ${\displaystyle \mathrm {Var} (\ln X)\geqslant \left(\ln {\frac {\mathbb {E} [X]}{\exp(\mathbb {E} [\ln X])}}\right)^{2}.}$

Решение. Обозначим ${\displaystyle A=\mathbb {E} [X]}$, ${\displaystyle G=\exp(\mathbb {E} [\ln X])}$, ${\displaystyle m=\mathbb {E} [\ln X]}$. По AM-GM для случайных величин ${\displaystyle G\leqslant A}$, поэтому ${\displaystyle \ln(A/G)=\ln A-m\geqslant 0}$.

Раскроем дисперсию: ${\displaystyle \mathrm {Var} (\ln X)=\mathbb {E} [(\ln X-m)^{2}]\geqslant {\bigl (}\mathbb {E} [|\ln X-m|]{\bigr )}^{2}.}$ (Последнее неравенство — это ${\displaystyle \mathbb {E} [Z^{2}]\geqslant (\mathbb {E} [Z])^{2}}$ для ${\displaystyle Z=|\ln X-m|\geqslant 0}$.)

Далее, по неравенству Йенсена для выпуклой функции ${\displaystyle e^{x}}$: ${\displaystyle A=\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [e^{\ln X}]\geqslant e^{\mathbb {E} [\ln X]}=G,}$ то есть ${\displaystyle \ln A\geqslant m}$. Полагая ${\displaystyle f(t)=e^{t}}$ и используя выпуклость: ${\displaystyle \mathbb {E} [e^{\ln X}]\geqslant e^{m}{\bigl (}1+\mathbb {E} [\ln X-m]{\bigr )}=e^{m},}$ откуда ${\displaystyle \ln(A/G)\geqslant 0}$ и ${\displaystyle \mathrm {Var} (\ln X)\geqslant {\bigl (}\ln(A/G){\bigr )}^{2}.\quad \square }$

Условие. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые неотрицательные случайные величины с ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu _{i}<\infty }$. Докажите: ${\displaystyle \mathbb {E} \!\left[{\sqrt[{n}]{X_{1}\cdots X_{n}}}\right]\leqslant {\sqrt[{n}]{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}.}$

Решение. По неравенству Йенсена для вогнутой функции ${\displaystyle t\mapsto t^{1/n}}$ (или, эквивалентно, для ${\displaystyle \ln }$) и независимости: ${\displaystyle \mathbb {E} \!\left[(X_{1}\cdots X_{n})^{1/n}\right]\leqslant \left(\mathbb {E} [X_{1}\cdots X_{n}]\right)^{1/n}=\left(\mu _{1}\cdots \mu _{n}\right)^{1/n}.}$ Здесь использована независимость ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}\cdots X_{n}]=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ и выпуклость функции ${\displaystyle t\mapsto t^{n}}$ при применении Йенсена в обратную сторону для вогнутой ${\displaystyle t^{1/n}}$^[27].

Условие. Страховая компания распределяет капитал ${\displaystyle C}$ между ${\displaystyle n}$ независимыми рисками. Убыток по ${\displaystyle i}$-му риску имеет экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda _{i}}$, вероятность реализации риска — ${\displaystyle q_{i}}$. Найти распределение капитала ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}=C}$, ${\displaystyle c_{i}\geqslant 0}$, минимизирующее вероятность разорения ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}e^{-\lambda _{i}c_{i}}}$.

Решение. Задача является выпуклой (сумма выпуклых функций при линейном ограничении). Условие ККТ: ${\displaystyle q_{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}c_{i}}=\lambda ^{*}\quad \forall i,}$ где ${\displaystyle \lambda ^{*}>0}$ — множитель Лагранжа. Отсюда: ${\displaystyle c_{i}={\frac {1}{\lambda _{i}}}\ln \!\left({\frac {q_{i}\lambda _{i}}{\lambda ^{*}}}\right),}$ причём ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ выбирается из условия ${\displaystyle \sum c_{i}=C}$. Выпуклость целевой функции (а значит, и достаточность условий минимума) проверяется через AM-GM: сумма убывающих выпуклых функций выпукла^[28][29].

Условие. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на ${\displaystyle [1,2]}$. Оцените вероятность того, что их геометрическое среднее отклоняется от предельного значения более чем на ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Решение. Обозначим ${\displaystyle Y_{i}=\ln X_{i}\in [0,\ln 2]}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{1}]=\ln 2-1+\ln e=\ln 2-1+1=\ln 2}$…

Точнее: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{1}]=\int _{1}^{2}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_{1}^{2}=2\ln 2-1}$, ${\displaystyle \mathrm {Var} (Y_{1})\leqslant {\dfrac {(\ln 2)^{2}}{4}}}$ (оценка дисперсии ограниченной величины).

Геометрическое среднее ${\displaystyle G_{n}=\exp \!{\Bigl (}{\dfrac {1}{n}}\sum Y_{i}{\Bigr )}}$ сходится по ЗБЧ к ${\displaystyle e^{2\ln 2-1}={\dfrac {4}{e}}}$. По неравенству Чебышёва для ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {1}{n}}\sum Y_{i}}$: ${\displaystyle \mathbb {P} \!\left(\left|S_{n}-(2\ln 2-1)\right|>\delta \right)\leqslant {\frac {(\ln 2)^{2}}{4n\delta ^{2}}}.}$ Из непрерывности экспоненты отклонение ${\displaystyle |G_{n}-4/e|>\varepsilon }$ оценивается через отклонение ${\displaystyle |S_{n}-(2\ln 2-1)|>\delta }$ с подходящим ${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )}$. Неравенство AM-GM обеспечивает ${\displaystyle G_{n}\leqslant A_{n}={\dfrac {1}{n}}\sum X_{i}}$, что даёт дополнительную оценку сверху^[30].

Условие. Пусть ${\displaystyle X,Y>0}$ — случайные величины на вероятностном пространстве с фильтрацией ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Докажите, что почти наверное: ${\displaystyle \mathbb {E} [{\sqrt {XY}}\mid {\mathcal {F}}]\leqslant {\sqrt {\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {F}}]\cdot \mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}]}}.}$

Решение. Применим условное неравенство Коши — Буняковского: ${\displaystyle \mathbb {E} [{\sqrt {X}}\cdot {\sqrt {Y}}\mid {\mathcal {F}}]\leqslant {\sqrt {\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {F}}]\cdot \mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}]}}\quad {\text{п.н.}}}$ Условное неравенство Коши — Буняковского доказывается так же, как безусловное (через неотрицательность дискриминанта квадратного трёхчлена), с заменой обычного ожидания на условное. Связь с AM-GM: для каждого фиксированного исхода ${\displaystyle \omega }$ применяется поточечное неравенство ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant {\dfrac {a+b}{2}}}$, а затем берётся условное ожидание.

Среди всех выпуклых многоугольников с фиксированным числом сторон и заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. Для треугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ и полупериметром ${\displaystyle s={\dfrac {a+b+c}{2}}}$ формула Герона:

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

максимизируется при ${\displaystyle a=b=c}$ по неравенству AM-GM, применённому к произведению ${\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)}$ при фиксированной сумме ${\displaystyle (s-a)+(s-b)+(s-c)=s}$^[31].

• Неравенство Эйлера: для радиусов вписанной ${\displaystyle r}$ и описанной ${\displaystyle R}$ окружностей треугольника ${\displaystyle R\geqslant 2r}$; доказательство использует AM-GM.

• Для высот ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$:

${\displaystyle {\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}\geqslant {\dfrac {9}{a+b+c}}}$ (следствие AM-HM).

Пусть стороны прямоугольника ${\displaystyle x,y>0}$, ${\displaystyle 2(x+y)=P}$. По AM-GM: ${\displaystyle xy\leqslant \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {P}{4}}\right)^{2},}$ причём максимум достигается при ${\displaystyle x=y}$, то есть для квадрата.

При аппроксимации функций неравенство AM-GM используется для оценки средней погрешности: если локальные погрешности ${\displaystyle \varepsilon _{i}>0}$, то их геометрическое среднее не превосходит арифметического: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}}}\leqslant {\dfrac {\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{n}}{n}}}$.

В методах градиентного спуска выбор шага обучения часто оптимизируется с использованием неравенств между средними для баланса между скоростью сходимости и устойчивостью^[32].

Для положительных последовательностей, заданных рекуррентно, неравенство AM-GM позволяет доказывать монотонность и сходимость к стационарному пределу.

В логистических моделях неравенство между средними используется для оценки устойчивости равновесных состояний при наличии нескольких видов с разными темпами роста.

Некоторые индексы разнообразия (например, индекс Симпсона) используют средние величины для агрегации данных по видам, причём неравенство между средними позволяет сравнивать разные экосистемы.

В методах регуляризации (LASSO, Ridge) неравенство между средними используется для обоснования выбора штрафных коэффициентов, балансирующих сложность модели и качество подгонки^[33].

При вычислении внутрикластерного разброса среднее геометрическое расстояний предпочтительнее арифметического для уменьшения влияния выбросов, что обосновывается неравенством ${\displaystyle G\leqslant A}$^[34].

В задачах минимизации логистической потери неравенство ${\displaystyle \ln(1+e^{x})\geqslant {\dfrac {x}{2}}}$ (следствие выпуклости функции ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+e^{x})}$) используется для получения нижних оценок, восходящих к идеям AM-GM^[35].