Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Основными арифмети́ческими опера́циями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

При преобразовании математических выражений, включающих арифметические операции, используются свойства этих операций.

• коммутативность (перестановочный закон) сложения:

${\displaystyle a+b=b+a}$,

• вычитание есть действие, обратное сложению.
• вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$,

• коммутативность (перестановочный закон) умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$,

• деление есть действие, обратное умножению,
• деление на ноль невозможно,
• деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right)}$.

• ассоциативное свойство (сочетательный закон) сложения: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$,
• ассоциативное свойство (сочетательный закон) умножения: ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$,
• дистрибутивное свойство (распределительный закон) для умножения: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb}$.

Свойства равенства

• если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle b=c}$, то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивность равенства),
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивность),
• если ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle b=a}$ (симметричность).

Другие законы

• если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle a+c=b+d}$ (аддитивность равенства),
  • если ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для любого c.
• если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd}$ (мультипликативность равенства),
  • если ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle ac=bc}$ для любого c.
• если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки),
• если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle b>c}$, то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивность порядка),
• если ${\displaystyle a>b}$, то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для любого c,
• если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc}$,
• если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac<bc}$.

1. Необходимо найти сумму чисел: 81+37+19. Можно по очереди произвести сложение, но проще воспользоваться сочетательным законом, при котором:

(81 + 37) + 19 = (81 + 19) + 37 = 100 + 37 = 137.

2. Использование сочетательного закона для умножения:

(5 ⋅ 37) ⋅ 20 = (5 ⋅ 20) ⋅ 37 = 100 ⋅ 37 = 3700.

3. Использование распределительного закона для сложения и вычитания:

35 ⋅ (10 — 2) = 35 ⋅ 10 — 35 ⋅ 2 = 350 — 70 = 280.

35 ⋅ (10 + 2) = 35 ⋅ 10 + 35 ⋅ 2 = 350 + 70 = 420.

Сложение чисел с одинаковыми знаками: сложить модули данных чисел, перед суммой поставить общий знак.

Сложение чисел с разными знаками: модуль суммы равен разности модулей слагаемых, знак суммы совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль.

Вычитание чисел: чтобы вычесть из числа a число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$.

Умножение и деление чисел:

1. произведение (частное) чисел одного знака есть число положительное,
2. произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Если перед скобками стоит знак «+», то, раскрывая скобки, можно:

1. опустить скобки и знак «+»,
2. записать слагаемые, стоящие в скобках, сохранив их знаки,
3. если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «+».

Если перед скобками стоит знак «-», то, раскрывая скобки, можно:

1. опустить скобки и знак «-»,
2. записать слагаемые, стоящие в скобках, поменяв знаки всех слагаемых на противоположные,
3. если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «-».

Сложение и вычитание десятичных дробей

1. уравнять количество знаков после запятой, записать запятую под запятой,
2. выполнить сложение, вычитание, не обращая внимания на запятую,
3. поставить в ответе запятую под запятой.

Умножение десятичных дробей

1. выполнить действие, не обращая внимания на запятую,
2. отделить в произведении столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих сомножителях вместе.

Деление десятичных дробей

на натуральное число:

1. разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую,
2. поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части,
3. если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целыx.

на десятичную дробь:

1. в делимом и делителе запятую перенести на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и выполнить деление десятичной дроби на натуральное число.