Мультипликативная функция

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция ${\displaystyle f(m)}$, такая, что для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ выполнено^[1]:

${\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}$

и

${\displaystyle f(1)=1}$.

При выполнении первого условия, требование ${\displaystyle f(1)=1}$ равносильно тому, что функция ${\displaystyle f(m)}$ не равна тождественно нулю.

Функции ${\displaystyle f(m)}$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$, называются вполне мультипликативными^[2]. Функция ${\displaystyle f}$ вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных ${\displaystyle x,y}$ выполняется соотношение ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной^[3], если:

${\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}$

для всех простых ${\displaystyle p}$ и всех натуральных ${\displaystyle \alpha }$.

Примеры:

• функция ${\displaystyle \tau (m)}$ ― число натуральных делителей натурального ${\displaystyle m}$;
• функция ${\displaystyle \sigma (m)}$ ― сумма натуральных делителей натурального ${\displaystyle m}$;
• функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (m)}$;
• функция Мёбиуса ${\displaystyle \mu (m)}$.
• функция ${\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}$ является сильно мультипликативной.
• степенная функция ${\displaystyle f(m)=m^{\alpha }}$ является вполне мультипликативной.