Построение t-норм

Метод построения t-норм с использованием генераторов состоит в применении унарной функции-генератора для преобразования известной бинарной функции (чаще всего сложения или умножения) в t-норму.

Чтобы можно было использовать небиективные генераторы, не имеющие обратной функции, применяется понятие псевдообратной функции:

Пусть функция f: [a, b] → [c, d] монотонна и определена на замкнутых подотрезках расширенной вещественной прямой. Тогда псевдообратная функция f⁽⁻¹⁾: [c, d] → [a, b] задается следующим образом:

${\displaystyle f^{(-1)}(y)={\begin{cases}\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)<y\},&{\text{если }}f{\text{ невозрастающая}}\\\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)>y\},&{\text{если }}f{\text{ неубывающая}}\end{cases}}}$

Построение t-норм по аддитивному генератору основано на следующей теореме:

Пусть f: [0, 1] → [0, +∞] — строго убывающая функция, такая что f(1) = 0 и f(x) + f(y) лежит в образе f либо в отрезке [f(0⁺), +∞] для всех x, y из [0, 1]. Тогда функция T: [0, 1]² → [0, 1], определяемая как

T(x, y) = f^(-1)(f(x) + f(y))

— является t-нормой.

Либо можно воспользоваться выражением ${\displaystyle T(x,y)=f^{-1}\left(\min \left(f(0^{+}),f(x)+f(y)\right)\right)}$. Связанная с ней резидуальная импликация выражается как ${\displaystyle (x\Rightarrow y)=f^{-1}\left(\max \left(0,f(y)-f(x)\right)\right)}$. Биимпликация — ${\displaystyle (x\Leftrightarrow y)=f^{-1}\left(\left|f(x)-f(y)\right|\right)}$.

Если t-норма T получается из этого построения функцией f, являющейся правостороним непрерывной в 0, такую функцию называют аддитивным генератором t-нормы T.

Примеры:

• Функция f(x) = 1 – x для x ∈ [0, 1] — аддитивный генератор для t-нормы Лукасаевича (англ. Łukasiewicz t-norm).
• Функция f, определяемая как f(x) = –logx при 0 < x ≤ 1 и f(0) = +∞, — аддитивный генератор для произведения (product t-norm).
• Функция f, задаваемая f(x) = 2 – x при 0 ≤ x < 1 и f(1) = 0 — аддитивный генератор для драстической t-нормы (drastic t-norm).

Базовые свойства аддитивных генераторов сводятся к следующей теореме:

Пусть f: [0, 1] → [0, +∞] — аддитивный генератор t-нормы T. Тогда:

• T — архимедова t-норма;
• T непрерывна тогда и только тогда, когда f непрерывна;
• T строго монотонна тогда и только тогда, когда f(0) = +∞;
• Каждый элемент (0, 1) является нильпотентным для T тогда и только тогда, когда f(0) < +∞;
• Любое умножение f на положительную константу также дает аддитивный генератор t-нормы T;
• T не имеет нетривиальных идемпотентов (поэтому, например, минимум не имеет аддитивного генератора).

Изоморфизм между сложением на [0, +∞] и умножением на [0, 1] посредством логарифма и экспоненты позволяет двумерные превращения между аддитивными и мультипликативными генераторами t-норм. Если f — аддитивный генератор t-нормы T, то функция h: [0, 1] → [0, 1], определённая как h(x) = e^−f(x), — мультипликативный генератор t-нормы T, то есть функция h, обладающая свойствами:

• h строго возрастает,
• h(1) = 1,
• h(x) · h(y) лежит в образе h или равно 0 либо h(0+) для всех x, y из [0, 1],
• h правосторонне непрерывна в 0,
• T(x, y) = h^(–1)(h(x) · h(y)).

Обратно, если h — мультипликативный генератор T, то f: [0, 1] → [0, +∞], заданная как f(x) = –log(h(x)), является аддитивным генератором t-нормы T.

Многие семейства родственных t-норм можно определить явной формулой, зависящей от параметра p. Ниже перечислены наиболее известные параметрические семейства t-норм. Используются следующие определения:

• Семейство t-норм T_p, параметризованное по p, называется возрастающим, если T_p(x, y) ≤ T_q(x, y) для всех x, y ∈ [0, 1] при p ≤ q (аналогично для убывающего, строго возрастающего/убывающего);
• Семейство t-норм T_p называется непрерывным по параметру p, если

${\displaystyle \lim _{p\to p_{0}}T_{p}=T_{p_{0}}}$

для всех значений параметра p₀.

Семейство t-норм Швайцера — Склара, впервые определённое Бертольдом Швайцером и Абом Скларом в начале 1960-х, даётся параметрическим выражением:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }(x,y)={\begin{cases}T_{\min }(x,y)&{\text{если }}p=-\infty \\(x^{p}+y^{p}-1)^{1/p}&{\text{если }}-\infty <p<0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{если }}p=0\\(\max(0,x^{p}+y^{p}-1))^{1/p}&{\text{если }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty .\end{cases}}}$

Свойства:

• ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }}$ — архимедова тогда и только тогда, когда p > −∞;
• непрерывна тогда и только тогда, когда p < +∞;
• строгая тогда и только тогда, когда −∞ < p ≤ 0 (при p = −1 — произведение Хамахера);
• нильпотентна тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 — t-норма Лукасаевича).

Семейство строго убывает по p ≥ 0, непрерывно по параметру в [−∞, +∞]. Аддитивный генератор для ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }}$ при −∞ < p < +∞:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {SS} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{если }}p=0\\{\frac {1-x^{p}}{p}}&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Семейство t-норм Хамахера, предложенное Хорстом Хамахером в конце 1970-х, задаётся параметрически для 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \\0&{\text{если }}p=x=y=0\\{\frac {xy}{p+(1-p)(x+y-xy)}}&{\text{иначе.}}\end{cases}}}$

t-норма ${\displaystyle T_{0}^{\mathrm {H} }}$ называется произведением Хамахера.

T-нормы Хамахера являются единственными t-нормами, являющимися рациональными функциями. ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }}$ — строгая тогда и только тогда, когда p < +∞ (при p = 1 — произведение). Семейство строго убывает и непрерывно по p. Аддитивный генератор для ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }}$ при p < +∞:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {H} }(x)={\begin{cases}{\frac {1-x}{x}}&{\text{если }}p=0\\\log {\frac {p+(1-p)x}{x}}&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Семейство t-норм Франка, введённое М. Й. Франком в конце 1970-х, даётся для 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {F} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{если }}p=0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{если }}p=1\\T_{\mathrm {Luk} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \\\log _{p}\left(1+{\frac {(p^{x}-1)(p^{y}-1)}{p-1}}\right)&{\text{иначе.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {F} }}$ — строгая при p < +∞. Семейство строго убывает и непрерывно по параметру p. Аддитивный генератор:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {F} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{если }}p=1\\1-x&{\text{если }}p=+\infty \\\log {\frac {p-1}{p^{x}-1}}&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Семейство t-норм Ягера, определённое Рональдом Ягером (Ronald R. Yager) в начале 1980-х, задаётся для 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=0\\\max \left(0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1/p}\right)&{\text{если }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \end{cases}}}$

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }}$ — нильпотентна тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 — t-норма Лукасаевича). Семейство строго возрастает и непрерывно по p. Для 0 < p < +∞ оно получается из t-нормы Лукасаевича возведением её генератора в степень p. Аддитивный генератор:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {Y} }(x)=(1-x)^{p}.}$

Семейство t-норм Ачзеля — Альсины, определённое Яношом Ачзелем и Клауди Альсиной (János Aczél, Claudi Alsina) в начале 1980-х, даётся для 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=0\\e^{-\left(|-\log x|^{p}+|-\log y|^{p}\right)^{1/p}}&{\text{если }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \end{cases}}}$

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }}$ — строгая тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 — произведение). Семейство строго возрастает и непрерывно по параметру. Для 0 < p < +∞ получается из произведения возведением генератора в степень p. Аддитивный генератор:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {AA} }(x)=(-\log x)^{p}.}$

Семейство t-норм Домби, введённое Йожефом Домби (József Dombi, 1982), задаётся для 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }(x,y)={\begin{cases}0&{\text{если }}x=0{\text{ или }}y=0\\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=0\\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \\{\frac {1}{1+\left(\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}+\left({\frac {1-y}{y}}\right)^{p}\right)^{1/p}}}&{\text{иначе}}\\\end{cases}}}$

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }}$ — строгая тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 — произведение Хамахера). Семейство строго возрастает и непрерывно по параметру. Для 0 < p < +∞ строится из произведения Хамахера возведением его генератора в степень p. Аддитивный генератор:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {D} }(x)=\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}.}$

Семейство t-норм Сугэно — Вебера, определённое Зигфридом Вебером в начале 1980-х (дуальные t-конормы рассматривались Митио Сугэно в 1970-х), задаётся для −1 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SW} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{если }}p=-1\\\max \left(0,{\frac {x+y-1+pxy}{1+p}}\right)&{\text{если }}-1<p<+\infty \\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{если }}p=+\infty \end{cases}}}$

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SW} }}$ — нильпотентна тогда и только тогда, когда −1 < p < +∞ (при p = 0 — t-норма Лукасаевича). Семейство строго возрастает и непрерывно по параметру. Аддитивный генератор для 0 < p < +∞:

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {SW} }(x)={\begin{cases}1-x&{\text{если }}p=0\\1-\log _{1+p}(1+px)&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Ординальная сумма строит t-норму из семейства t-норм, ужимая их в попарно непересекающиеся подинтервалы отрезка [0, 1] и используя минимум на остальной части единичного квадрата. Этот конструкт опирается на следующую теорему:

Пусть для каждого i из индексного множества I задана t-норма T_i, а (a_i, b_i) — пара попарно непересекающихся открытых подотрезков [0, 1]. Тогда функция T: [0, 1]² → [0, 1], определяемая как

${\displaystyle T(x,y)={\begin{cases}a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot T_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right),&{\text{если }}x,y\in [a_{i},b_{i}]^{2}\\\min(x,y),&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

— является t-нормой.

Полученная таким образом t-норма называется ординальной суммой слагаемых (T_i, a_i, b_i) для i ∈ I, и обозначается как

${\displaystyle T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i})}$,

или ${\displaystyle (T_{1},a_{1},b_{1})\oplus \dots \oplus (T_{n},a_{n},b_{n})}$ при конечном I.

Свойства ординальных сумм t-норм:

• Любая t-норма является тривиальной ординальной суммой себя на всём интервале [0, 1];
• Пустая ординальная сумма (по пустому множеству индексов) дает минимум (T_min); слагаемые-минимумы можно добавлять или удалять без изменения результата;
• Можно считать без ограничения общности, что индексное множество счётно, поскольку на вещественной прямой не может быть несчётно много непересекающихся подотрезков;
• Ординальная сумма непрерывна тогда и только тогда, когда все слагаемые непрерывны (аналогично по левой непрерывности);
• Ординальная сумма архимедова тогда и только тогда, когда она тривиальна — состоит из одной архимедовой t-нормы на всем интервале;
• Ординальная сумма имеет делители нуля тогда и только тогда, когда для некоторого индекса i выполняется a_i = 0 и t-норма T_i имеет делители нуля (аналогично для нильпотентных элементов).

Если ${\displaystyle T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i})}$ — левая непрерывная t-норма, то её резидуум R выражается так:

${\displaystyle R(x,y)={\begin{cases}1,&{\text{если }}x\leq y\\a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot R_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right),&{\text{если }}a_{i}<y<x\leq b_{i}\\y,&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

где R_i — резидуум t-нормы T_i для каждого i.

Ординальная сумма семейства непрерывных t-норм снова является непрерывной t-нормой. Согласно теореме Мостерта — Шилдса, любая непрерывная t-норма выражается в виде ординальной суммы архимедовых непрерывных t-норм. Поскольку последние либо нильпотентны (и тогда изоморфны t-норме Лукасаевича), либо строги (и тогда изоморфны произведению), любая непрерывная t-норма изоморфна ординальной сумме t-нормы Лукасаевича и произведения.

Важные примеры ординальных сумм непрерывных t-норм:

• T-нормы Дюбуа — Прада, определённые Дидье Дюбуа и Анри Прада в начале 1980-х, — ординальные суммы произведения на [0, p] для параметра p ∈ [0, 1] и (по умолчанию) минимума на остальном интервале. Семейство убывает и непрерывно по p.
• T-нормы Майора — Торренса, предложенные Гаспаром Майором и Хоаном Торренсом в начале 1990-х, — ординальные суммы t-нормы Лукасаевича на [0, p] для параметра p ∈ [0, 1] и минимума на остальном интервале. Семейство убывает и непрерывно в параметре p.

Метод ротационной конструкции t-норм был предложен Шандором Енеем и опирается на следующую теорему:^[2]

Пусть T — левая непрерывная t-норма без делителей нуля, N: [0, 1] → [0, 1] такая, что N(x) = 1 – x, и t = 0,5. Обозначим T₁ — линейное преобразование T в [t, 1], и ${\displaystyle R_{T_{1}}(x,y)=\sup\{z\mid T_{1}(z,x)\leq y\}}$. Тогда функция

${\displaystyle T_{\mathrm {rot} }={\begin{cases}T_{1}(x,y),&{\text{если }}x,y\in (t,1]\\N(R_{T_{1}}(x,N(y))),&{\text{если }}x\in (t,1],\ y\in [0,t]\\N(R_{T_{1}}(y,N(x))),&{\text{если }}x\in [0,t],\ y\in (t,1]\\0,&{\text{если }}x,y\in [0,t]\end{cases}}}$

— определяет левую непрерывную t-норму, называемую ротацией t-нормы T.

Геометрически, построение описывается как сжатие t-нормы T к отрезку [0,5; 1], а затем вращение на угол 2π/3 в двух направлениях вокруг прямой, соединяющей точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0).

Можно обобщить теорему, взяв в качестве N любую строгую отрицательную (involutive, строго убывающую непрерывную функцию на [0, 1]), а в качестве t — её единственную неподвижную точку.

Полученная t-норма обладает свойством инвариантности при ротации относительно N:

T(x, y) ≤ z тогда и только тогда, когда T(y, N(z)) ≤ N(x) для всех x, y, z ∈ [0, 1].

Индуцированная t-нормой T_rot отрицательная функция совпадает с N: N(x) = R_rot(x, 0), где R_rot — резидуум t-нормы T_rot.