Построение таблиц истинности логических выражений

Табли́ца и́стинности — таблица, описывающая логическую функцию. В ней отражены результаты каждой логической операции. В алгебре логики используются следующие логические операции: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

Таблица состоит из ${\displaystyle n+1}$ столбцов и ${\displaystyle 2n}$ строк, где ${\displaystyle n}$ — число используемых переменных. В первых ${\displaystyle n}$ столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) логической функции, а в ${\displaystyle n+1}$-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Логи́ческая схе́ма в логике — способ представления и анализа логических утверждений и рассуждений. Они используются для изучения логических законов, построения доказательств и решения логических задач. Логические схемы включают в себя различные логические операции, а также переменные, константы и другие символы, используемые для представления логических утверждений.

Логи́ческая фу́нкция — функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь». Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре.

Табличное задание функций встречается не только в логике, но и в логических функциях. Таблицы истинности начали использоваться с начала XX века, в тот же период за ними закрепилось это специальное название.

• отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);
• конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается ∧ (например, А ∧ В) либо & (например, А & В);
• дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается ∨ (например, А ∨ В) либо | (например, А | В);
• следование (импликация) обозначается → (например, А → В);
• тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B);
• выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);
• символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания), символ 0 — для обозначения лжи (ложного высказывания).

Логическое отрицание, или инверсия (лат. inversion — «переворачивание»), — унарная операция, в результате которой из данного высказывания (например, A) получается новое высказывание (не А), которое называется отрицанием исходного высказывания.

Обозначение: ¬A, Ā, не A

Порядок работы схемы: на вход подаётся значение А, после прохождения прямоугольника с операцией ¬ на выходе получается значение ¬A.

Пример: «Катя получила двойку», после применения отрицания получим: «Катя не получила двойку». Если на вход схемы отправить значение 0, то на выходе будет значение 1 (¬ 0 = 1). У данной схемы один вход и один выход, операция унарная.

Таблица истинности для операции инверсии:

Логическое умножение, или конъюнкция (лат. conjunctio — «соединение»), — бинарная операция, соединяющая два высказывания и более с помощью связки «И» (например, «А и В»). Cуть конъюнкции легко запомнить с помощью следующего выражения: «Конъюнкция (высказывание А & В) истинна только тогда, когда оба высказывания А, В истинны».

Обозначение: А ∧ В, A & B, A · B, A и B

Порядок работы схемы: на вход подаются два значения — А, В, на выходе будет значение конъюнкции этих двух входящих. На вход подали значения 0 и 1, выполнится 0 & 1, и на выходе получим 0.

Пример: «Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный».

Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

Логическое сложение, или дизъюнкция (лат. disjunctio — «разделение»), — бинарная операция, соединяющая два высказывания и более с помощью связки «ИЛИ» (например, «А или В»).

Обозначение: А ∨ В, А + В, А | В, А или В

Порядок работы схемы: на вход подаются два значения — А, В, на выходе будет значение дизъюнкции этих двух входящих.

Пример: «Число х делится на 3 или на 5».

Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

A	B	A ${\displaystyle \lor }$ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция строго разделительная, то есть исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2), — бинарная операция, соединяющая два высказывания с помощью связки «ИЛИ», употреблённой в исключающем смысле.

Обозначение: А ${\displaystyle \oplus }$ В, А ${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \lor }$ В, А ⊻ В, А или В Пример: «Этот треугольник тупоугольный или остроугольный».

Высказывание истинно, если выполняется одно из условий.

Суть операции «исключающее ИЛИ» легко запомнить с помощью следующего выражения: «Исключающее ИЛИ (высказывание А ${\displaystyle \oplus }$ В) истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения».

Таблица истинности для операции «исключающее ИЛИ»:

A	B	А ${\displaystyle \oplus }$ В
0	0	0
0	1	1
0	1	1
1	1	0

Логическое следование, или импликация (лат. implicatio — «тесно связываю»), — логическая операция, соединяющая два высказывания с помощью связки «если… то…».

Обозначение: А ⇒ В, А → В

Импликация — сокращённая запись для выражения (¬А ∨ В). При решении задач можно уверенно заменять в выражении импликацию этой записью.

Пример: 1) «Если четырёхугольник — квадрат, то в него можно вписать окружность».

2) «Если 3 · 3 = 9 (А), то Солнце — плане та (В)», результат импликации А → В — ложь.

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь.

Таблица истинности для операции импликации:

Эквивалентность, или двойная импликация (равнозначность) (лат. aequalis — «равный», valentis — «имеющий силу»), — бинарная операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А = В.

Обозначение: А ⇔ В, А ↔ В, А ≡ В

Эквивалентность — это сокращённая запись для выражения (¬А ∧∧ ¬В) ∨ (А ∧ В). При решении задач можно уверенно заменять в выражении эквивалентность этой записью.

Пример: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из его углов равен 90°».

Таблица истинности для операции эквивалентности: