Стрелка Пирса

Стре́лка Пи́рса (функция Вебба, отрицание дизъюнкции)^[1] — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом в 1880—1881 годах.

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ^[2] и задаётся следующей таблицей истинности:

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\downarrow b}$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «(не X) и (не Y)», или, что то же самое, «не (X или Y)». Операция NOR коммутативна: от перемены мест операндов результат операции не изменяется.

Стрелка Пирса, как и штрих Шеффера, образует функционально-полный логический базис для пространства булевых функций от двух переменных. Это означает, что, используя только стрелку Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

${\displaystyle X\downarrow X\equiv \neg X}$ — отрицание;

${\displaystyle \left({X\downarrow X}\right)\downarrow \left({Y\downarrow Y}\right)\equiv {X\wedge Y}}$ — конъюнкция;

${\displaystyle \left({X\downarrow Y}\right)\downarrow \left({X\downarrow Y}\right)\equiv X\vee Y}$ — дизъюнкция;

${\displaystyle \left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\downarrow \left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\equiv X\rightarrow Y}$ — импликация.

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NOR). С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих выражения схем и тем самым снижает их надёжность, а также увеличивает время прохождения сигнала и снижает быстродействие устройства.

Функциональная операция, выполняемая при ${\displaystyle n}$ входах, определяется следующим выражением:

${\displaystyle F={\overline {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+...x_{n}}}.}$