Поличисла

Алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ является прямой суммой ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.}$ Все коммутативные поличисла являются прямыми суммами некоторого количества действительных чисел и некоторого количества комплексных чисел. Комплексные числа входят в поличисла как собственная подалгебра. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она максимально симметрична (содержит ${\displaystyle n}$ гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией является поличисловая алгебра ${\displaystyle P_{n,m},}$ представляющая собой прямую сумму ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle m}$ экземпляров алгебры комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[2].

Алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ реализуется элементами ${\displaystyle A\in P_{n}}$ вида:

${\displaystyle A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},}$

где ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {R} ,}$ а ${\displaystyle e_{i}}$ — набор образующих ${\displaystyle P_{n}}$, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

${\displaystyle e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i}}$.

Умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все ${\displaystyle A_{i}\neq 0}$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

${\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n}}$.

На алгебре ${\displaystyle P_{n}}$ существует ${\displaystyle n-1}$ операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

${\displaystyle A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},}$

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle k}$-е комплексное сопряжение можно определить формулой:

${\displaystyle A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad }$ (${\displaystyle k}$ — раз).

Очевидно, что ${\displaystyle A^{(n)}=A.}$

Рассмотрим поличисло вида

${\displaystyle N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},}$ где ${\displaystyle A\in P_{n}}$. (1)

Нетрудно проверить, что ${\displaystyle N(A)}$ вещественно в том смысле, что

${\displaystyle N(A)=r^{n}I,}$ где ${\displaystyle r^{n}\in R}$.

Число ${\displaystyle r}$ называется (квази)нормой поличисла ${\displaystyle A}$. Квазинорма ${\displaystyle r}$ выражается через координаты поличисла ${\displaystyle A}$ по формуле:

${\displaystyle r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)}$, (2)

где ${\displaystyle G}$ — n-форма

${\displaystyle G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)}$, (3)

${\displaystyle {\hat {S}}}$ — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)—(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой ${\displaystyle N(A)}$, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast }}$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

${\displaystyle (\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )}$,

где ${\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }$, можно рассмотреть n-линейную форму:

${\displaystyle (A,B,\dots ,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots ,Z)}AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad }$ (4)

Здесь суммирование производится по множеству ${\displaystyle \sigma (A,B,{\dots },Z)}$ всех перестановок элементов ${\displaystyle A,B,{\dots },Z\in P_{n}}$. Последнее из равенств (4) выявляет связь алгебры поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора^[1].

Пусть дана сумма ${\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {C} }$ двух векторов. Пусть ненулевой вектор ${\displaystyle a=(1,a_{2}+ia_{3})}$ измерим. Тогда вектор ${\displaystyle b=(b_{1},a_{2}+ia_{3})}$ также будет измеримым ненулевым вектором, когда ${\displaystyle b_{1}}$ мало отличается от ${\displaystyle 1}$. Соответственно, при любом положительном ${\displaystyle t}$ вектор ${\displaystyle a+tb=(t+1)a+(b_{1}-1,0+i0)}$ также измерим и имеет длину ${\displaystyle l(t)={\sqrt[{3}]{(1+tb_{1})(t+1)^{2}(a_{2}^{2}+a_{3}^{2})}}}$ . Учтём также, что ${\displaystyle |a|={\sqrt[{3}]{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}$ , ${\displaystyle |b|=c|a|}$, ${\displaystyle c={\sqrt[{3}]{b_{1}}}}$. Тогда при больших ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle l(t)=t|b|+{\frac {1+2c^{3}}{3c^{3}}}|a|+{\underline {O}}\left({\frac {1}{t}}\right)}$, а при малых ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle l(t)=|a|+{\frac {2+c^{3}}{3c}}|b|+{\underline {O}}\left({\frac {1}{t}}\right)}$.

Последнее свойство имеет место для любой алгебры коммутативных поличисел, содержащей комплексные числа как собственную подалгебру^[3].

Во множестве поличисел имеется умножение, определяющее алгебраическую норму как определитель матрицы умножения, представляющий элемент ${\displaystyle x}$. Под поличислами подразумевают конечномерные ассоциативные алгебры. Для них определитель матрицы умножения слева совпадает с определителем матрицы умножения справа (как определители транспонированных матриц).

Если исходное метрическое пространство является поличисловым ${\displaystyle P_{n}\ni X}$, то, во-первых, аналитические функции поличисловой переменной ${\displaystyle P_{n}}$ определены в области, где якобиан от их компонент не равен нулю, и, во-вторых, в этом же пространстве можно ввести понятие обобщённо-аналитической функции. В этом случае функции, осуществляющие обобщённо-конформные преобразования, являются обобщённо-аналитическими данной поличисловой переменной ${\displaystyle F(X)=f^{1}(x^{1},x^{2},...,x^{n})e_{1}+f^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{n})e_{2}+...+f^{n}(x^{1},x^{2},...,x^{n})e_{n}}$, где ${\displaystyle X=x^{i}e_{i}}$^[4].