Поверхности постоянной средней кривизны

Мыльные плёнки и мыльные пузыри можно рассматривать как поверхности раздела двух однородных сред, находящихся в равновесии. Мыльная плёнка с границей в окрестности каждой своей точки разделяет две среды, а именно воздух — воздух, в каждой из которых давление одинаково. Поэтому суммарное давление на каждую малую площадку мыльной плёнки равно нулю. В мыльном пузыре давление внутри больше, чем давление снаружи, поэтому вектор результирующего давления направлен наружу. Эта сила должна компенсироваться силами поверхностного натяжения. Так как давление всегда направлено по нормали к границе раздела и одинаково по модулю во всех точках этой границы вследствие однородности сред, то поверхность раздела во всех точках «искривлена в среднем одинаково».

Симметрическая функция ${\displaystyle H(u,v)\equiv {\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})}$ называется средней кривизной поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle (u,v)}$ и выражается через коэффициенты основных квадратичных форм:

${\displaystyle H\equiv {\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {EN-2FM+GL}{EG-F^{2}}}}$.

Предположим, что двумерная гладкая поверхность ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ является границей раздела двух однородных сред, находящихся в равновесии. Пусть ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ — давление в средах. Тогда средняя кривизна ${\displaystyle H}$ поверхности ${\displaystyle M}$ постоянна и равна ${\displaystyle H=h(P_{1}-P_{2})}$, где постоянная ${\displaystyle \lambda =1/h}$ называется коэффициентом поверхностного натяжения, а разность давлений ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ — результирующим давлением.

Таким образом, выражение «искривлена в среднем одинаково» означает, что средняя кривизна поверхности постоянна. Средняя кривизна ${\displaystyle H}$ мыльной плёнки равна нулю, ${\displaystyle H=0}$, а у мыльного пузыря средняя кривизна постоянна ${\displaystyle H={\text{const}}}$ и не равна нулю^[3].

В математике поверхности с ${\displaystyle H={\text{const}}}$ называются поверхностями постоянной средней кривизны. Для случая ${\displaystyle H=0}$ эти поверхности имеют специальное название — минимальные поверхности.

• Если допустить существование на минимальных поверхностях особых точек, то такие поверхности будут называться обобщёнными минимальными поверхностями. Особые точки обобщённых минимальных поверхностей называются точками ветвления.
• Если бесконечно продолженная поверхность не имеет самопересечений и является регулярной поверхностью, то она называется периодической минимальной поверхностью^[4].

Катеноид — это поверхность, образуемая вращением цепной линии ${\displaystyle y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{b}}}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$, принадлежит к числу минимальных поверхностей.

Катеноид можно задать параметрически:

${\displaystyle u\in \mathbb {R} ,\quad v\in \left[0;2\pi \right),\qquad {\begin{cases}x=\operatorname {ch} (u)\,\cos(v)\\y=\operatorname {ch} (u)\,\sin(v)\\z=u\end{cases}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ — гиперболический косинус.

Катеноид получается в результате эксперимента с двумя проволочными контурами в виде окружностей, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры. При погружении контуров в мыльный раствор и успешном исходе эксперимента полученная минимальная поверхность представляет собой катеноид.

Все неплоские неконгруэнтные полные минимальные поверхности вращения образуют однопараметрическое семейство — семейство катеноидов. В качестве параметра этого семейства можно взять радиус горловины катеноида^[7]. Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида^[8].

Геликоид — винтовая поверхность, описываемая прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось движения под постоянным углом ${\displaystyle \alpha }$ и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси.

Уравнение геликоида в параметрической форме имеет вид ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=u\cos v,\\y&=u\sin v,\\z&=hv\end{aligned}}\right.}$ (см. рисунок)^[9].

Геликоид — минимальная линейчатая поверхность вращения

Геликоид принадлежит к семейству линейчатых поверхностей, то есть поверхностей, которые описывает прямая (образующая линейчатой поверхности) при своём движении вдоль некоторой кривой, называемой направляющей линейчатой поверхности. Среди всех линейчатых поверхностей минимальны только геликоиды и их фрагменты. Это утверждение было доказано Е. Каталаном (1842 г.).

Все неплоские неконгруэнтные полные минимальные линейчатые поверхности образуют однопараметрическое семейство геликоидов (в качестве параметра семейства можно выбрать шаг ${\displaystyle h}$).

Между катеноидами и геликоидами существует связь. Катеноид и геликоид при соответствующих значениях параметров локально изометричны. Небольшой участок геликоида можно изометрически (то есть без сжатий и растяжений) гладко преобразовать в участок катеноида.

Изометрическая трансформация геликоида в катеноид

Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности. Рассматривалась А. Эннепером в 1864 году. Поверхность Эннепера имеет параметризацию ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{m}}$.

Явное уравнение поверхности Эннепера имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi -{\frac {\rho ^{3}}{3}}\cos 3\varphi ,\\y=-\rho \sin \varphi -{\frac {\rho ^{3}}{3}}\sin 3\varphi ,\\z=\rho ^{2}\cos 2\varphi ,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ — полярные координаты на ${\displaystyle w}$-плоскости, ${\displaystyle \rho =\vert {}w\vert {}}$, ${\displaystyle \varphi =\arg w}$.

Эта классическая минимальная поверхность имеет в окрестности нуля вид седла

При увеличении области ${\displaystyle U_{r}=\{w\mid \vert {}w\vert {}<r\}}$ верхние и нижние концы контура ${\displaystyle \Gamma _{r}}$ — образа ${\displaystyle \partial U_{r}}$ — начинают сближаться и в некоторый момент наступает самопересечение поверхности^[10].

Отражениями «кубической ячейки» относительно звеньев ломаной можно получить периодическую поверхность (без самопересечений). Существует много примеров периодических минимальных поверхностей. Одним из них является трижды периодическая минимальная поверхность, обнаруженная финским математиком Э. Неовиусом (см. рисунок).

Получают с помощью параметризации по ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=a\left(1-\cos u+\int \limits _{0}^{u}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sqrt {\sin ^{2}\alpha +\beta }}}d\alpha \right)}$;

${\displaystyle y=a(\sin u+{\sqrt {\sin ^{2}u+\beta }})\cos v}$;

${\displaystyle z=a(\sin u+{\sqrt {\sin ^{2}u+\beta }})\sin v}$,

где ${\displaystyle \beta =a^{2}/b^{2}}$. Средняя кривизна равна ${\displaystyle H=1/(2a)}$.

Нодоид — поверхность с постоянной средней кривизной

Любую минимальную поверхность ${\displaystyle M}$ локально можно задать парой ${\displaystyle \mathbb {C} }$-значных функций ${\displaystyle (f,{\text{g}})}$, называемых локальным представлением Вейерштрасса. Можно «склеить» локальные представления, соответствующие различным координатным областям поверхности ${\displaystyle M}$, в единое (глобальное) представление Вейерштрасса, которое описывает всю минимальную поверхность ${\displaystyle M}$. Идея рассматривать поверхность как множество (топологическое пространство), склеенное из координатных областей приводит к понятию многообразия.

В терминах функций ${\displaystyle (f,{\text{g}})}$ представления Вейерштрасса выражаются многие геометрические характеристики минимальных поверхностей, а именно метрика, гауссова кривизна, гауссово отображение и т. д. Представление Вейерштрасса даёт возможность построить огромное количество новых примеров минимальных поверхностей и является основным инструментом исследования в теории двумерных минимальных поверхностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Пара ${\displaystyle (\omega ,{\text{g}})}$, состоящая из голоморфной 1-формы ${\displaystyle \omega }$ и мероморфной функции ${\displaystyle {\text{g}}}$ на римановой поверхности ${\displaystyle M}$, причём таких, что формы ${\displaystyle \varphi ^{1}={\frac {1}{2}}(1-g^{2})\omega }$, ${\displaystyle \varphi ^{2}={\frac {i}{2}}(1+g^{2})\omega }$ и ${\displaystyle \varphi ^{3}=g\omega }$ являются голоморфными 1-формами, не имеющими действительных периодов, называется глобальным представлением Вейерштрасса^[11].

Поверхности постоянной средней кривизны используются в конструкциях с воздушной опорой, а также в качестве источника плавных органических форм. Начиная с конца XIX века в прогрессивной архитектуре получили распространение сетчатые несущие строительные конструкции, которые стали использоваться как перекрытия-оболочки, башни-оболочки и сложные аморфные конструкции. Несущие сетчатые оболочки выполняются из металлов, композиционных материалов и древесины. До середины XX века несущие сетчатые оболочки использовались редко ввиду сложности расчёта, повышенных требований к качеству материалов и соблюдению технологий монтажа. Полное признание и широкое распространение в архитектуре сетчатые оболочки получили в течение последних двух десятилетий благодаря внедрению компьютеров в практику расчёта конструкций и появлению новых строительных материалов и технологий. В XXI веке сетчатые оболочки стали одним из главных средств формообразования авангардных зданий, включая небоскрёбы и строения в стиле хай-тек.

Стальные сетчатые гиперболоидные оболочки с ромбовидной несущей решёткой впервые использовал в архитектуре русский инженер и архитектор Владимир Шухов в 1896 году. Он изобрёл и запатентовал три вида сетчатых несущих оболочек. Главной особенностью оболочек Шухова является использование гиперболоидных форм, следствием чего является возможность собирать их из длинных прямолинейных элементов, не имеющих переломов.