Пифагорова четвёрка

Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД (a,b,c) = 1, имеет параметризацию^[2][3][4]

${\displaystyle a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},}$

${\displaystyle b=2(mq+np),}$

${\displaystyle c=2(nq-mp),}$

${\displaystyle d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},}$

где m, n, p, q — натуральные целые, НОД(m, n, p, q) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега^[5]:

${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$

Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:

Если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ такой, что ${\displaystyle p^{2}<a^{2}+b^{2}}$. Тогда ${\displaystyle c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)}$ и ${\displaystyle d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).}$ Заметим, что ${\displaystyle p={d-c}.}$

Похожий метод существует^[6] для ${\displaystyle a,b}$ чётных с дополнительным ограничением, что ${\displaystyle 2p}$ должно быть чётным делителем числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}.}$ Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.

Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12^[7]. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).

Примитивная пифагорова четвёрка ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, параметризованная с помощью ${\displaystyle (m,n,p,q)}$, соответствует первому столбцу матричного представления ${\displaystyle E(\alpha )}$ сопряжения ${\displaystyle \alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}}$ с помощью кватерниона Гурвица ${\displaystyle \alpha =m+ni+pj+qk}$, суженного до подпространства ${\displaystyle \mathbb {H} }$, натянутого на ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$

где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, ${\displaystyle {\frac {1}{d}}E(\alpha )}$ ${\displaystyle \in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )}$, и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом^[8].

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)