Пирамида, её виды и свойства

• вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
• основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
• боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
• боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
• высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра;
• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$

где ${\displaystyle \ S}$ — площадь основания и ${\displaystyle \ h}$ — высота;^[3]

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}V_{p},}$

где ${\textstyle \ V_{p}}$ — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле^[4]:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ — скрещивающиеся рёбра , ${\displaystyle d}$ — расстояние между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ , ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

${\displaystyle S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}}$.

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

${\displaystyle \ S_{p}=S_{b}+S_{o}}$

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }$

где ${\displaystyle a}$ — апофема , ${\displaystyle \ P}$ — периметр основания, ${\displaystyle \ n}$ — число сторон основания, ${\displaystyle \ b}$ — боковое ребро, ${\displaystyle \alpha }$ — плоский угол при вершине пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно вписать сферу, вокруг любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна ${\displaystyle \pi }$, а каждый из них соответственно ${\textstyle {\frac {\pi }{n}}}$, где n — количество сторон многоугольника основания^[5];
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

Усечённая пирами́да — многогранник, часть пирамиды, заключённая между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

Связанные определения:

• Основание изначальной пирамиды, а также параллельная ему грань называются основаниями усечённой пирамиды.
  • Остальные грани называются боковыми.

• Если изначальная пирамида правильная то её усечённая пирамида также называется правильной.
  • Высота боковой грани называется апофемой.

• Боковые грани усечённой пирамиды представляют собой трапеции.
• Объём усечённой пирамиды равен ${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}\cdot h(S_{1}+{\sqrt {S_{1}\cdot S_{2}}}+S_{2})}$, где ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ — площади оснований, ${\displaystyle h}$ — высота усечённой пирамиды.

• Боковые стороны правильной усечённой пирамиды, а также углы между ними и основанием усечённой пирамиды равны.
• Боковые грани правильной усечённой пирамиды являются равнобедренными трапециями, равными между собой.
• Равны двугранные углы между боковыми гранями, а также между каждой из граней и основанием усечённой пирамиды.
• Площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы периметров её оснований и апофемы (высоты боковой грани): ${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}(p_{1}+p_{2})\cdot l}$, где ${\displaystyle p_{1}}$ — периметр первого основания, ${\displaystyle p_{2}}$ — периметр второго, а ${\displaystyle l}$ — апофема.
• Площадь боковой поверхности равна ${\displaystyle S_{b}={\frac {|S_{1}-S_{2}|}{\cos \varphi }}}$, где ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ — площади оснований, а ${\displaystyle \varphi }$ — двугранный угол при основании усечённой пирамиды.