Параллелепипед и куб

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепи́педом.

Параллелепипед имеет 6 граней, две из которых являются основаниями. У параллелепипеда все противолежащие грани равны между собой.

Параллелепипеды могут быть прямыми (все боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований, основания — параллелограммы), прямоугольными (если уголы между всеми соседними рёбрами прямые), а также наклонными (если углы между соседними рёбрами отличны от прямых).

Любой параллелепипед имеет вершины. Вершинами параллелепипеда являются вершины соответствующих граней.

В качестве оснований призмы можно выбрать любые параллельные грани.

Если грани параллелепипеда имеют одно общее ребро, то они называются смежными, если же таковых не имеется, то грани противоположные.

Любой отрезок, который соединяет вершины противоположных граней, называется диагональю этой призмы.

Любые три рёбра, которые имеют общую вершину, называются характеристиками параллелепипеда, то есть являются его длиной, шириной и высотой.

• Любой параллелепипед симметричен относительно любой своей диагонали. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелепипеда.
• Если построить несколько диагоналей, то они пересекутся в точке, которая поделит их на две равные части.
• Любые две грани, которые лежат друг против друга, имеют одинаковую длину, и обязательно параллельны.
• Сумма квадратов длины, ширины и высоты равна квадрату диагонали (другая формулировка: сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его рёбер).

Площадь боковой поверхности:

${\displaystyle S_{bok}=2c(a+b)}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ — стороны основания, ${\displaystyle c}$ — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности:

${\displaystyle S_{poln}=2(ab+bc+ac)}$

Объём:

${\displaystyle V=abc}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Частным случаем параллелепипеда является куб. Куб — это параллелепипед, у которого все грани являются квадратами. Все соседние рёбра куба перпендикулярны друг другу.

Все свойства призмы и параллелепипеда справедливы и для куба.

У куба все грани являются правильными четырёхугольниками, которые лежат под углом 90° друг к другу. Чтобы найти площадь одной грани, необходимо воспользоваться формулой площади квадрата ${\displaystyle S=a^{2}}$. Куб состоит из 6 граней, а это значит, что для нахождения площади поверхности куба, достаточно просто площадь одной грани умножить на 6: ${\displaystyle S_{sum}=6a^{2}}$

Если некоторый отрезок проходит через центр куба (место, где пересекаются все диагонали куба), через центры параллельных граней, то он будет называться осью данного куба.

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Длина ${\displaystyle d}$ диагонали куба с ребром ${\displaystyle a}$ находится по формуле ${\displaystyle d=a{\sqrt {3}}.}$

Объём куба можно определить по известной длине стороны (возведением в куб) или же по диагоналям.

Если провести сечение через диагонали, через центр куба, или же просто взять его ось или диагонали, то куб всегда будет симметричен относительно всего перечисленного.