Парадокс Клейна в графене

Квазичастицы в графене описываются двумерным гамильтонианом для безмассовых дираковских частиц

${\displaystyle {\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка деленная на 2 π, ${\displaystyle v_{F}}$ — Ферми скорость, ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})}$ — вектор оставленный из матриц Паули, ${\displaystyle \nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})}$ — оператор набла. Пусть есть потенциальный барьер с высотой ${\displaystyle V_{0}}$ и шириной ${\displaystyle D}$, а энергия налетающих частиц равна ${\displaystyle E}$. Тогда из решения уравнения Дирака для областей слева барьера (индекс I), в самом барьере (II) и справа от барьера (III) запишутся в виде плоских волн как для свободных частиц:

${\displaystyle \psi _{I}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i\phi }\end{pmatrix}}e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}+{\frac {r}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i(\pi -\phi )}\end{pmatrix}}e^{i(-k_{x}x+k_{y}y)},}$

${\displaystyle \psi _{II}(\mathbf {r} )={\frac {a}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{i\theta }\end{pmatrix}}e^{i(q_{x}x+k_{y}y)}+{\frac {b}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{i(\pi -\theta )}\end{pmatrix}}e^{i(-q_{x}x+k_{y}y)},}$

${\displaystyle \psi _{III}(\mathbf {r} )={\frac {t}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i\phi }\end{pmatrix}}e^{i(k_{x}x+k_{y}y)},}$

где приняты следующие обозначения для углов ${\displaystyle \phi =\operatorname {arctg} {(k_{y}/k_{x})}}$, ${\displaystyle \theta =\operatorname {arctg} {(k_{y}/q_{x})}}$, и волновых векторов в I-ой и III-ей областях ${\displaystyle k_{x}=k_{F}\cos {\phi }}$, ${\displaystyle k_{y}=k_{F}\sin {\phi }}$, и во II-ой области под барьером ${\displaystyle q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2}}}}$, знаков следующих выражений ${\displaystyle s=\mathrm {sign} (E)}$ и ${\displaystyle s'=\mathrm {sign} (E-V_{0})}$. Неизвестные коэффициенты ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle t}$ амплитуды отражённой и прошедшей волны соответственно находятся из непрерывности волновой функции на границах потенциала.

Для коэффициента прохождения как функции угла падения частицы получено следующее выражение^[2]

${\displaystyle T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{'}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2}}}}.}$

На рисунке справа показано как изменяется коэффициент прохождения в зависимости от ширины барьера. Показано, что максимальная прозрачность барьера наблюдается при нулевом угле всегда, а при некоторых углах возможны резонансы.