Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении релятивистских уровней Ландау s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми (${\displaystyle \varepsilon _{F}}$) следующие соотношения:

${\displaystyle \varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s}{\sqrt {s}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s+1}{\sqrt {s+1}},}$

где «циклотронная частота» ${\displaystyle \omega _{c}^{s}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B_{s}}}}=v_{F}{\sqrt {\frac {2eB_{s}}{\hbar }}}}$, а магнитная длина ${\displaystyle l_{B_{s}}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB_{s}}}}}$, ${\displaystyle s}$ — натуральное число 1, 2, 3, …, ${\displaystyle v_{F}}$ — фермиевская скорость, ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle e}$ — элементарный заряд, ${\displaystyle B_{s}}$ — магнитное поле, соответствующее s-му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна ${\displaystyle n={\frac {g_{s}g_{v}\varepsilon _{F}^{2}}{4\pi \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}$. Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

${\displaystyle \pi \hbar ^{2}n={\frac {\varepsilon _{F}^{2}}{v_{F}^{2}}}=2seB_{s}\hbar ,}$

или

${\displaystyle s={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s}}},}$

${\displaystyle s+1={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s+1}}}.}$

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций ${\displaystyle \Delta B_{s}^{-1}}$:

${\displaystyle 1={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\left({\frac {1}{B_{s+1}}}-{\frac {1}{B_{s}}}\right)={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\Delta B_{s}^{-1}.}$

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

${\displaystyle n={\frac {2e}{\pi \hbar \Delta B_{s}^{-1}}}}$

или фундаментальную частоту ${\displaystyle B_{F}}$

${\displaystyle n={\frac {2e}{\pi \hbar }}B_{F}.}$

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

В статье^[4] Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

${\displaystyle \sigma _{\text{osc}}={\frac {4e^{2}|\mu |}{\pi }}{\frac {(\mu ^{2}-\Delta ^{2}+\Gamma ^{2})\Theta (\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{(\hbar v_{F}^{2}eB)^{2}+(2\mu \Gamma )^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi k(\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right)R_{T}(k,\mu )R_{D}(k,\mu ),}$

где ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал, ${\displaystyle \Delta }$ — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), ${\displaystyle \Gamma }$ — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), ${\displaystyle \Theta (x)}$ — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

${\displaystyle R_{T}(k,\mu )={\frac {2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB}{\operatorname {sh} (2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB)}},}$

а множитель Дингля

${\displaystyle R_{D}(k,\mu )=\exp \left({\frac {-2\pi k|\mu |\Gamma }{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right).}$

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау (${\displaystyle \mu ^{2}\gg \Delta ^{2}+\Gamma ^{2}}$), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.