Отражающая подкатегория

Подкатегория A категории B называется отражающей в B, если для каждого объекта B категории B существует объект ${\displaystyle A_{B}}$ категории A и B-морфизм ${\displaystyle r_{B}\colon B\to A_{B}}$, такой что для любого B-морфизма ${\displaystyle f\colon B\to A}$ существует единственный A-морфизм ${\displaystyle {\overline {f}}\colon A_{B}\to A}$, такой что ${\displaystyle {\overline {f}}\circ r_{B}=f}$:

Пара ${\displaystyle (A_{B},r_{B})}$ называется A-отражателем B. Морфизм ${\displaystyle r_{B}}$ называется A-отражающей стрелкой.

• Категория абелевых групп Ab — отражающая подкатегория категории групп Grp. Отражатель — функтор, отправляющий каждую группу в её абелианизацию. В свою очередь, категория групп — отражающая подкатегория категории полугрупп с делением.
• Категория полей — отражающая подкатегория категории целостных колец (с инъективными гомоморфизмами колец). Отражатель — функтор, отправляющий кольцо в его поле частных.
• Категория абелевых групп кручения — ко-отражающая подкатегория категории абелевых групп. Отражатель отправляет абелеву группу в её подгруппу кручения.
• Категория векторных пространств над данным полем k — это отражающая подкатегория категории множеств. Отражатель — функтор, отправляющий множество B в свободное векторное пространство, порожденное элементами B над k.

• Колмогоровские пространства (T₀-пространства) — отражающая подкатегория Top, категории топологических пространств, и колмогоровский фактор является отражателем.
• Категория компактных хаусдорфовых — отражающая подкатегория топологических пространств с аксиомой Тихонова. Отражатель — Компактификация Стоуна — Чеха.
• Категория полных метрических пространствs c равномерно непрерывными отображениями — отражающая полная подкатегория категории метрических пространств. Отражатель — пополнение метрического пространства.

• Категория банаховых пространств — отражающая полная подкатегория категории нормированных пространств и ограниченных линейных операторов. Отражатель — пополнение по норме.